Mit jelent a numerikus megoldás?

Ezt nyugodtan megkérdezhetted volna az eredeti kérdésednél is. De ha a Google-be beírtad volna, akkor is kaptál volna releváns válaszokat.

Kétféle számítási mód van: ami pontos eredményt ad, meg ami csak közelíti. Utóbbit hívjuk numerikus módszernek. A legismertedd numerikus módszer a Newton-iteráció, aminek az a lényege, hogy a vizsgált intervallumot állandóan felezgeti, ezzel minden lépésben megad egy egyre szűkebb intervallumot, amely tartalmazza a tényleges megoldást. Ennek előnye, hogy a felezgetés miatt exponenciális gyorsasággal közelít a keresett számhoz, ami gyorsnak mondható, hátránya, hogy sok feltételnek kell teljesülnie ahhoz, hogy hatékonyan lehesen használni.

Ezen kívül még számtalan közelítő módszert felfedeztek .

Numerikus megoldás: az egyenlet közelítő megoldása pl ha megkérdezem, hogy mekkora egy 0.5cm átmérőjű kör kerülete akkor a numerikus megoldás lehet a 3,14cm. Persze a "PI"cm az igazi megoldás, de a 3.14-et jellemzően elfogadjuk.

Vannak feladatok amiket grafikus módon oldunk meg, az egy megoldástipus.

Mondok egyszerűbbet; mi az eredménye ennek a műveletnek:

1 : 7

? A pontos válasz 1/7, vagyis egy heted. Ha viszont számszerűsíteni szeretnéd, akkor elvégzed az osztást ahogy általános iskolában tanultad, addig a tizedesjegyig, amíg neked jólesik. Ez is egy numerikus módszer, mivel nem ad pontos eredményt, de minden lépéssel egyre közelebb kerülünk a pontos értékhez.

Amikor egy feladatot meg akarjuk oldani, kiválasztjuk a módszereket (általában több van). Ha a számítás bizonyos képletekkel megfogalmazható szabályok alapján történik, az levezetés, pontos eredmény. Ha nem képletekkel, hanem például approximációval (közelítés) oldom meg, akkor lesz az numerikus.

Példa. A másodfokú egyenletnek általában két megoldása van,és erre van egy képlet, amibe behelyettesítünk. Mint ismert, ennek geometriai interpretációja, hogy a parabola (a másodfokú függvény) hol metszi az x tengelyt.

Azonban úgy is eljárhatunk, hogy például tekintünk egy tetszőleges pontot (x érték), itt húzunk egy érintőt, ez metszi a tengelyt, ott ismét húzunk érintőt, és ezt addig ismételjük, míg a kiindulópont és a kapott metszéspont egy előre meghatározott hibaértéknél kisebb nem lesz.

Másik példa. Két (több) ismeretlenes lineáris egyenletrendszer. A nem numerikus módszer, az első egyenletből kifejezzük az egyik ismeretlent,azt mindenhová behelyettesítjük, így eggyel kevesebb ismeretlen és egyenlet lesz, ezt addig folytatjuk, míg egy darab egyenletünk lesz, amit megoldunk, majd visszafelé a többi ismeretlent is kiszámítjuk. Ez azonban időnként rendkívül nehéz, sőt lehetetlen. Gauss kifejlesztett egy numerikus módszert, ami ugyan sok számolással jár, azonban egyszerűen végrehajtható mindig. Ezeknek a virágkora a számítógépekkel jött el, mert a gép rendkívül gyorsan végez műveleteket, viszont egy numerikus módszert programozni könnyű. Képletekkel megadható eredmény néha nem is lehetséges.

A kör átmérő és körív hossz valamint társainak semmi köze a numerikus módszerhez. Az elválasztó az, hogy képlettel (képletek sorával), vagy egy mindig ugyanúgy végrehajtható iterációval oldunk-e meg. Utóbbi esetben alapfeltétel, hogy az iteráció addig tart, míg egyelőre megállapított hibaértéknél kisebb nem lesz két megoldás közötti különbség.