Hogyan magyaráznátok el egy középiskolásnak,hogy mi az a gyűrű?(absztrakt algebra)

[link]

Ezek alapján a gyűrű az egy olyan halmaz, amelynek elemeit ha összeadjuk/összeszorozzuk egymással, akkor mindig olyan eredményt kapunk, ami a halmazban benne van, ezen kívül a jól megszokott zárójelbontás is működik a halmazban.

Első körben nézzük meg, hogy mi az, hogy algebrai struktúra. Az algebrai struktúra nem más, mint egy nemüres halmaz művelettel vagy műveletekkel ellátva. Ha az alaphalmazunk S, akkor egy n-változós műveleten értünk egy S^n -> S leképezést. Mit jelent ez? Hogy minden egyes elem n-eshez hozzárendelünk egy másik S-beli elemet. Ha mondjuk k db ilyen művelet van értelmezve az S halmatzon, és ezeket m_i-vel jelöljük ( 0<i<=n, n természetes szám), akkor ezt az algebrai struktúrát így jelöljük:

(S; m_1, m_2, ... ,m_k)

Röviden fogalmazva gyűrűn értünk egy olyan (R;+,*) hármast, ahol (R;+) Abel-csoport, (R;*) félcsoport, és a szorzás disztributív az összeadásra nézve (a csillag a szorzást hivatott reprezentálni).

Tehát (R;+) Abel-csoport, azaz:

- az összeadás(nak nevezett) művelet kommutatív: minden a,b R-beli elemekre a+b=b+a

-az összeadás asszociatív, azaz: (a+b)+c=a+(b+c)

-létezik legalább egy elem, melyre igaz, hogy a+0=0+a=a (egységelem)

-minden elemnek létezik legalább 1 inverze, azaz minden a-hoz létezik olyan b, hogy a+b=b+a=0 (additív inverz/ellentett)

Állítom, hogy az egységelem egyértelműen meghatározott:

Legyen ugyanis 0 és 0' két egységelem. Ekkor 0=0+0'=0', azaz csakugyan, 0=0'.

Állítom azt is, hogy az inverzelem egyértelműen meghatározott.

Valóban, véve egy b elemet, és ennek b', b" inverzeit:

b'+b+b"=(b'+b)+b"=0+b"=b"

Másrészt

b'+b+b"=b'+(b+b")=b'+0=b'.

Csakugyan, b'=b"

(R;*) félcsoport, azaz * asszociatív

A disztributivitási szabály pedig úgy hangzik, hogy

a*(b+c)=a*b+a*c és (b+c)*a=b*a+c*a. Itt a tényezők sorrendje fontos! Sehol nem állítottam, hogy a szorzás kommutatív.

Ha végignézed, ezeket a tulajdonságokat mind tudják az egészek, a racionális és valós számok is az összeadással és a szorzással. Utóbbi kettő ennél némileg többet tud, ők testek (érdemes gondolni, mivel tudnak többet).