Hogy kell azt érteni, hogy az integrálás, meg a deriválás művelet egyiknek a forditottja?

az egyik hirtelen ugrik a maximum felé, majd lassul az emelkedése.

a másik lassan kezd, majd később gyorsul fel a maximumra.

Külön kell válaszani a haározott, és határozatlan integrál fogalmát.

Deriválás: Ugyebár a deriválás úgy szól, hogy adott f függvény és keressük azt az f' függvényt, ami f függvény ÉT-ban minden pontjához hozzárendeli a függvény meredekségét. f'(x) = lim f(x)-f(x0)

x->x0 x-x0

Most fordítsuk meg a problémát:

Ismerjük f-et, és keressük azt a F függvényt melynek minden pontjára ÉT-ban f megadja a meredekséget vagyis teljesül az hogy F'(x) = f(x) Ekkor F-et f primitív függvényének nevezzük. Definíció. Továbbá belátható az is, hogy ez ebben az alakban is igaz: F'(x) +c' = f(x) Hiszen egy konstans deriváltja nulla.

És itt jön az integrálás definíciója:

integrál f(x) dx = F(x) + c Ahol ceR

Vegyük észre, hogy nem történt más mint hogy egyik oldalon az F' helyett megjelent a keresett F, míg a másik oldalon bevezettünk egy új jelölést arra a műveletre ami megadja f(x) ből F(x)-et. Ezen állítás differenciálással igazolható a függvényekre.

Tehát mint látszik alapvetően a definíció teremt a két művelet közt kapcsolatot, továbbá ezekből következik, hogy az integrálási szabályok a deriválási szabályokból levezethetők. Lényegében ezzel azt akartam megmutatni, hogy nem a terület és a meredekség közt van közvetlen kapcsolat hanem az integrálás és deriválás közt.

A függvény alatti terület más tészta, azt a Riemann integrálhatóság, és a Newton Leibniz formula jellemzi. Hosszadalmas lenne leírni itt azt hiszem.

Mgj: Nem minden függvénynek létezik primitív függvénye, vagy nem mindig fejezhető ki elemi függvények segítségével.

(ÉT= értelmezési tartomány)

(CeR = C tetszőleges konstans a racionális számhalmazon belül)