Hogyan bizonyítsam ezeket az oszthatóságokat?

Az elsőnél a maradékosztályokra kell gondolni. Annyi féle maradékosztály van, amennyi az osztó. Pl. 2-vel való osztásnál csak 2 van: vagy osztható az adott szám 2-vel és akkor 0 a maradék -> páros szám, vagy nem osztható, és akkor 1 a maradék -> páratlan szám, de nincs más verzió. 3-mal való osztásnál már 3 maradékosztály van, mert a maradék a lehet 0, 1, de 2 is, míg 4-nél már 4 van, mert a maradék vagy 0,1,2,3.

2./ Ugye minden páros szám osztható 2-vel, és minden második páros szám 4-gyel is. Ezért a szorzatuk már 2*4-gyel is, azaz 8-cal.

2.

A két szám felírható 2n és (2n+2) formában.

A szorzatuk 2n(2n+2) = 4n^2+4n = 4(n^2+n).

Az egyik szorzótényező a 4, tehát a szorzat osztható 4-gyel, a nyolccal való oszthatósághoz az kell, hogy hogy a második tényező osztható legyen kettővel, vagyis (n^2+n) páros legyen.

Ha n páros, felírható n=2k formában.

n^2+n = 4k^2+2k = 2(2k^2+k), az egyik szorzótényező a 2, tehát páros.

Ha n páratlan, akkor n=2k+1 formában írható fel.

n^2+n = (2k+1)^2+(2k+1) = (4k^2+4k+1)+(2k+1)= 4k^2+4k+1+2k+1 = 4k^2+6k+2 = 2(2k^2+3k+1), amiben szintén ott van a 2 szorzótényező, tehát ez is páros.

1. Itt talán arra gondol:

- sem 3-mal, sem 4-gyel nem osztható

- 3-mal osztható, 4-gyel nem

- 4-gyel osztható, 3-mal nem

- 3-mal is, 4-gyel is, tehát 12-vel osztható.

A két egymást követő páros számnál is a maradékosztályok kerülnek szóba. Gondold meg, hogy az egyik osztható néggyel, és a másik is páros, ezért a szorzatuk nyolccal is oszható lesz.

Legyen a kisebb páros szám a=2n. Ekkor n páros, vagy páratlan. Legyen n=2k vagy 2k+1, ekkor a=4k vagy 4k+2. A nagyobb páros szám ekkor 4k+2 vagy 4k+4 alakú. Az első esetben a kisebb, a második esetben a nagyobb lesz osztható 4-gyel.