Hogyan bizonyíthatom, hogy ha egy háromszög szögei alfa, béta, gamma és cos (alfa) +cos (béta) = sin (gamma) akkor a háromszög derékszögű?

En ugy okoskodtam, hogy tegyük fel, hogy a haromszog derekszog. Ekkor harom eset lehetseges:

alfa = 9o

beta = 9o

gamma = 9o

HA feltételezzük, hogy a háromszög derékszögű, akkor felírhatjuk a szögfüggvények definicióit: sin(alfa)=a/c stb. Ezekkel behelyettesítünk, és minden esetben egyenlőséget kapunk. Ezzel nem csak azt bizonyítottuk, hogy derékszögű háromszögekre az állítás igaz, mivel a sin(alfa)=a/c definíciók CSAK derékszögekre érvényes, így _csak_ derékszögekre lesz igaz. Tehát, ha az állítás igaz, akkor a háromszög derékszög.

Nem vagyok nagy májer matekból (13 éve tanultam utoljára :-), lehet, hogy nem jó az okoskodás.

Erre gondolsz: "\cos35^{\circ}+\cos55^{\circ}=1,3927"

Szerintem nem jó példát mutattál, ugyan a háromszög random két szögét behelyettesítve nem kaptad vissza a sin(9o)-t, ez szerintem sajnos nem jo....

De te úgy helyettesítettél be, hogy a=35, b=55 c=9o. De valójában nem így kellett volna, hanem a=35, b=9o, c=35

mivelhogy: cos35+cos9o = sin55

és lám igaz.

Bizonyításom nem feltételnül korrekt, mert valóban következményre épít, de a követezmény csak akkor teljesül, ha a háromszög derékszögű. És emlékeim szerint ezzel a csellel éltünk matekórán. De, mint mondtam, régen volt.

@döncike: Megmutattam, hogy helytelen az állítás. Ha úgy tesszük fel, hogy \cos\alpha+\cos90^{\circ}=\sin\beta, akkor már igaz az állítás, viszont így meg egyszerűen a pótszögekre vonatkozó tételt kapjuk vissza, ami megköveteli, hogy egy derékszögű háromszögről legyen szó.

Az állítás erősebb formája tehát nem igaz, a gyengébb formája pedig triviálisan, definíció alapján teljesül.

" Ha úgy tesszük fel, hogy \cos\alpha+\cos90^{\circ}=\sin\beta, akkor már igaz az állítás"

A feladatban semmifele kikotes nem volt arravonatkozolag, hogy melyik szog derekszog....

Azt kell bizonyítani, hogyha az egyenlőség teljesül, akkor van a háromszögben derékszög, vagyis alfa, béta, gamma közül pontosan az egyik. Tehát Tom, nem jó az okoskodásod. Egyébként addíciós képleteket kell használni.

Szögfüggvények szorzatát összevonássá alakító képletek

[link]

Utána pedig, hogy alfa + béta = Pi - gamma.