Matematika halmazok. Ki tud segíteni?

"De (teljes indukcióval) igazolható, hogy minden n elemű halmaz részhalmazainak száma 2^n tehát ha 0 eleme van akkor is 2^0 azaz 1 eleme van, az üreshalmaz. Magyarán nincs olyan halmaz aminek ne lenne legalább 1 eleme, mégha az üreshalmaz is. Vagy rosszul gondolom?"

Rosszul gondolod, minden n elemű halmaz részhalmazainak száma 2^n. Az üres halmaznak 0 db eleme van és egy részhalmaza ami önmaga.

"

csak annyit, hogy ha A=B akkor A nem valódi részhalmaza B-nek

a tankönyv példaként ezt hozza a "részhalmazra":

{négyel osztható számok}részhalmaza{kettővel osztható számok}

ez idáig ok, de szerintem ugyanez a példa simán meállja a helyét a "valódi részhalmaz" definíciójára is."

Igen. Ha valódi részhalmaza akkor részhalmaza is egyben.

"a halmazos kérdést akkor úgy próbálom elképzelni felrajzolva, hogy ha adottak a következő elemek: 1,3,5 és van egy olyan halmazom, hogy "páros számok halmaza" akkor az ={üreshalmaz lesz} mert bár lehetne eleme a felsoroltak között nincs "

Mi az hogy ={üreshalmaz lesz} ? Mi lesz az?

Az 1, 3, 5 elemkeket tartalmazó halmaznak nem részhalmaza a páros számok halmaza.

"ha viszont azt mondom, hogy "az a racionális szám amely négyzete egyenlő kettővel halmaz" akkor az =üreshalmaz lesz, mert nem hogy a megadott elemek között, de a világon nincs olyan szám ami beleillene. ez így helytálló, vagy még mindig nem értem?"

Az a halmazt mely csak azokat a racionális számokat tartalmazza melyek négyzete 2, akkor az üres halmaz mert nincs olyan racionális szám. Végtelen lehetséges módon meg lehet adni az üres halmazt ez csak egy lehetséges megadási módja.

Amúgy van olyan szám mely négyzete 2 de nem racionális, sőt 2 db olyan szám is van a valós számok halmazán.

"Tehát akkor a kérdés második felére az a válasz, hogy A-nak (az aktuális lehetőségekből) nincsenek elemei, ezért nem tudunk róla mondani semmit, B-ről pedig biztosan tudjuk, hogy nem lehet egy eleme sem? "

Nem. A-nak nincs egyetlen eleme sem. B-nek meg egyetlen eleme van az A halmazt tartalmazza elemként. Halmaznak lehet eleme halmaz. Igen nem azonos az üres halmaz és az a halmaz melynek egyetlen eleme az üres halmaz.

"{néggyel osztható számok} és {kettővel osztható számok} vagy még kisebb tartomány: A={4,8} és B={2,4,6,8}

A részhalmaza B-nek? vagy

A valódi részhalmaza B-nek? "

A részhalmaza B-nek? Igaz

A valódi részhalmaza B-nek? Igaz

A részhalmaza A-nak? Igaz

A valódi részhalmaza A-nak? Hamis

Gyerekek, nem kell itt túlspilázni semmit.

1. A részhalmaz reláció szemantikai értelemben kb. hasonló a valós számok közti kisebb-nagyobb relációhoz. A sima "részhalmaz jel", ami az egyenlőséget is megengedi, a "<="-nek felel meg, a "valódi részhalmaz" jel pedig a "<"-nek. Itt nem engedünk meg egyenlőséget.

2. A B={üres halmaz} Venn-diagrammos ábrázolással egy buborék, benne egy másik, üres buborékkal. Ellenben az A="üres halmaz" csupán egy üres buborék, amiben nincs semmi. Ebből már érezhető a különbség.

A lényeg, hogy "halmaz" és "elem" között nincs olyan szakadék, mint mondjuk a történelemben a földesúr és a jobbágy között. Egy halmaz is lehet eleme egy bővebb halmaznak, és néha egy halmaz eleme maga is tekinthető halmaznak. A matematika csak a kettő közti viszonyt rögzíti a halmazfogalom definiálásával (illetve körülírásával).