A felső korlát és a suprémum ugyan az?

Nem. A szuprémum a lehető legkisebb felső korlát.

Például a 0/1, 1/2, 2/3, 3/4,… sorozatnak felső korlátja az 1, a π és az 542 is, de a szuprémuma az egyértelműen az 1.

Kicsit pontosabban megfogalmazva, hátha ennyi év után valakinek segít:

a) Felső korlátja egy függvénynek bármely olyan K pozitív szám, amelytől a függvénynek bármely helyen felvett értékének az abszolút értéke kisebb vagy egyenlő.

b) A suprémum az a) kiegészítve azzal, hogy ez egy olyan K szám, amelyből akárhogy vonunk ki egy tetszőleges e>0 számot, már találunk olyan x helyettesítési értéket, amelyre K-e < f(x). Szavakkal tényleg csak annyi, hogy legkisebb felső korlát, de sokszor ez nem elég a matematikai bizonyításokhoz.

Látszik, hogy míg a)-ból akár végtelen sok is lehet, addig b)-ből max 1 (vagy 1 sem).

A határértéket nem értem miért kellett idekavarni, teljesen más fogalom.

Ha már nagyon általános és precíz akarok lenni, akkor először a valós számok egy részhalmazának a felső korlátját és szuprémumát definiálom (az abszolút értéket pedig kihagyom, mert nyugodtan lehet beszélni majd külön az f(x) és |f(x)| felső korlátjáról is):

A felső korlát bármely olyan szám, ami a halmaz minden eleménél nagyobb vagy egyenlő.

A szuprémum egy olyan felső korlát, aminél bármilyen kisebb szám már nem lesz felső korlát (vagyis legkisebb felső korlát, persze az ε-os megfogalmazás is jó, csak nem akarok ismételni, amúgy érdekességképpen: lehet úgy is mondani, hogy a felső korlátok halmazának lezáró pontja, ha topológiázni akarunk).

Ha most egy függvényünk van, aminek az értékkészlete valós, akkor vesszük ezt az értékkészletet, ami a valós számok egy részhalmaza, és a függvény felső korlátjának meg szuprémumának ezen halmaz felső korlátját illetve szuprémumát tekintjük. (Megjegyzés 1: a sorozat is egy függvény. Megjegyzés 2: ha az f(x) függvény értékkészlete komplex, akkor tényleg célszerű az |f(x)| függvényt tekinteni, bár ha ilyet csinálunk, akkor a 0 egy triviális ALSÓ korlát lesz.)