Egy négyzetes egyenes gúla felszíne 684 cm2, a gúla lapjait érinti gömb sugara 8 cm. Mekkora a gúla térfogata?

Én így csináltam:

[link]

"Síkmetszet megvan, gondolom majd kell hozzá az is..."

Mutatok egy olyan megoldást, amelyikhez nem kell síkmetszet.

Segítségül lásd a következő ábrát:

[link]

Gondolatban helyezd a gúla közepébe a beírható gömböt, majd a gömb középpontját kösd össze a gúla csúcsaival (OA, OB, OC, OD OE szakaszok)

Ezzel felosztottad az eredeti gúlát öt kisebb gúlára, melyeknek a lényeges közös jellemzője az, hogy a magassága mindegyiknek ugyanakkora: a beírt gömb sugarával azonos.

Ezeknek a gúláknak az alaplapja a gúla felszínének egy része.

Ezek:

F1 = ABCD négyszög

F2 = ABE háromszög

F3 = BCE ---"---

F4 = DCE ---"---

F5 = ADE ---"---

Az eredeti gúla térfogata (V) egyenlő a kis gúlák térfogatának összegével, vagyis:

V = F1*r/3 + F2*r/3 + F3*r/3 + F4*r/3 + F5*r/3

Kiemelés után

V = (r/3)(F1 + F2 + F3 + F4 + F5)

A második zárójelben levő összeg a gúla felszíne, ezért

V = F*r/3

=======

Ez az összefüggés minden olyan testre érvényes, melnek van beírható gömbje.

Megjegyzés:

- A kék pontok a gömb érintési pontjai akartak lenni.

- Azért jelöltem csak 3 garat, mert kissé nehézkes volt a többit is ábrázolni, de remélem így is érthető.

Az előző válaszoló nagyon ügyesen bánik a GeoGebra programmal, ha lesz kedve, talán készít nekünk egy szemléletesebb ábrát. :-)

DeeDee

**********