Hogy lehet az, hogy végtelen sok racionális szám összege lehet irracionális?

Legyen egy természetes számokból álló számsorozat, ami a PI minden számjegyét (sorrendet megtartva) elemét tartalmazza. A számsorozatot összeadom úgy, hogy i = 1 .. oo ig SUM { ai * 10^(1-i) }. Így megkapom a PI-t. Az összeadott számok mindegyike racionális szám volt.

A végtelen egy ilyen aljas dolog néha :)

Maga az a tény, hogy két darab racionális számot összeadsz, abból racionális szám lesz, ez teljesen rendben van. Teljes indukcióval az is levezethető, hogy véges számú racionális szám összege is racionális lesz.

Ám a végtelenben nagyon sok mindenben más a helyet. Ha végtelen számod van, könnyen le lehet vezetni, hogy ugyan annyi páros szám van, mint egész, vagy ugyan annyi racionális szám van, mint egész. Ezek mocskosan lehangolóak voltak, amikor bizonyították nekem. A valóságban végtelen hosszú számokat nem használunk.

A határérték nem szám, még ha számmal jelöljük is.

Sin (x) /x ha közeledünk nullához, 1-hez közelít, de sosem lesz 1.

1/2 +1/4 + 1/8 + 1/16 …+... ez sem lesz 1. Mondhatjuk, hogy végtelenben éppen 1, de nem tudom, miért kellene ilyesmit mondanunk.

Nem kellene a határértéket számnak tekinteni, teljesen más fogalmak.

Kitalálhatunk olyan fogalmakat, mint az összes egész szám, vagy az összes olyan tört, ahol a számláló 1, a nevező pedig kettőnek pozitív egész kitevős hatványa, és akkor tényleg megkapjuk, hogy 1/2 +1/4 + 1/8 + 1/16 …+.. . = 1

De így két, egymásnak ellentmondó eredményt kaptunk, mert az első eset egy sima mértani sor, amelynek összegképlete semmilyen N számra sem veszi fel az 1 értéket.

Szóval, meg lehet erőszakolni a matematikát, és ki lehet hozni, hogy végtelen sok racionális szám összege irracionális, de gyanítom, hogy a fizikusok nem fogják imáikba foglalni a matematikusokat az öncélú játszadozásaikért.

Hagyjuk már ezt a trollkodást, hogy az egyetemi matek semmit sem ér, és minden matematikus hülye!

Fogj egy könyvet a határértékről és égessed el, ha ennyire ostoba akarsz maradni, de "véljed" annak az ellentétét, amit más bizonyított.

Fizikában gyök kettőig nem jutottunk volna el, ha nem lenne határérték. És ezt te is jól tudod!