Hogyan lehet mértani sorozatból számtani sorozatot csinálni?
Adott a következő mértani sorozat:
1 2 4 8 16 32 64 ..., tehát mindegyik tagot úgy kapjuk, hogy az előtte lévőt megszorozzuk 2-vel.
Hogyan lehet ebből számtani sorozatot csinálni úgy, hogy ha egy tagot megváltoztatunk, akkor az összes többi tagot ugyanúgy változtatjuk? Például:
-ha az első taghoz hozzáadunk 3-at, akkor az összes többihez is, így ezt kapjuk: 4 5 7 11 19 35 67 ...
-ha négyzetre emeljük, akkor mindegyiket négyzetre emeljük: 1 4 16 64 256 1024 4096 ...
Olyan módszert, ami triviális (0-val való szorzás, 0. hatványra emelés, stb.), nem lehet alkalmazni.
A másik kérdés az, hogy ha van ilyen (nem triviális) módszer, akkor azzal tetszőleges mértani sorozatból lehet-e számtani sorozatot kreálni?
válasza:Veszed mindegyik számnak az ugyanannyi alapú logaritmusát. Pl. a 2-es alapú logaritmusát:
log_2 1 = 0
log_2 2 = 1
log_2 4 = 2
stb.
válasza:1 + n^2 , ahol "n" a sorozat adott sorszámú eleme.
De ez csak egy tipp, aki jobban ért hozzá, lehet tud jobb megoldást.
Köszönöm a válaszokat :) Az első szerintem jó lesz. De mi van akkor, ha nem ilyen "szép" a sorozat? Például:
2 12 72 432 ...,
akkor itt is elég csak a 2-es alapú logaritmust venni? Mert én itt nem látom, hogy mennyi lesz a differencia.
válasza:Igazából a logaritmus alapja mindegy. Ha 10-es alapú logaritmust veszel, akkor is számtani sor lesz a mértaniból, maximum a különbség nem egész szám lesz.
Pl.:
log_10(1) = 0
log_10(2) = 0.30102999566
log_10(4) = 0.60205999132
log_10(8) = 0.90308998699
log_10(16) = 1.20411998266
Ugye mértani sor esetén a[n+1] = a[n] * q
Ha a – bármilyen alapú – logaritmusát veszed:
log( a[n+1] ) = log ( a[n] * q ) = log( a[n] ) + log(q)
// A log(a*b) = log(a) + log(b) azonosság miatt
Ergo a mértani sorozat elemeinek logaritmusa olyan számtani sort képez, ahol a számtani sor differenciája – két szomszédos elem különbsége – egyenlő az eredeti mértani sor kvóciensének – a szomszédos elemek hányadosának – logaritmusával.
válasza:2, 12, 72, 432, ...
log6(An) - log6(2):
0, 1, 2, ...
Nekem jónak tűnik.
Szóval általánosságra valami ilyesmire gondolok (nem fogom bizonyítani):
A1: a mértani sorozat 1. eleme
An: a mértani sorozat n. eleme
q: a mértani sorozat hányadosa
Ekkor a kvöetkező képlettel képzett sorozat számtani:
Bn = logq(An) - logq(A1)
Ahol logq a q alapú logaritmus.
(Meg kéne nézni, hogy tört számokkal is jó-e, stb. Negatív q esetén szerintem az An-nek és a q-nak is venni kell az abszolútértékét, de ennek a bizonyítását is passzolnám. A q=1 esetre pedig a képlet: Bn = An)
válasza:Az egyszerű logaritmusnak is működnie kell. A sorozat számtani lesz, még akkor is, ha nem egész, hanem irracionális számok alkotják.
log6(An) - log6(2):
amit kivonsz, az egy konstans
a különböző alapú logaritmusok pedig konstans szorzóval térnek el egymástól.
Tehát elég egy rögzített alapú logaritmus, ha nem félsz az irracionális számoktól.
válasza:Nem számít, hogy mennyire "szép" a mértani sorozat. A lényeg az, hogy amíg egy mértani sorozatban két egymást követő elem így írható:
..., a, q*a, ...
addig az ebből logaritmusképzéssel kapott számtani pedig így:
..., log a, log q + log a, ...
A logaritmus alapja teljesen mindegy, ezért nem is írtam ki, és az is látszik, hogy a differencia log q lesz.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!