Lehet-e két irracionális szám összege és különbsége is racionális?

Ez nem lehet.

Legyen a+b=S és a-b=K

Ekkor az S összegből kivonva a K különbséget, a kisebbítendő kétszeresét kapjuk: S-K=2a

Vagyis egy irracionális szám kétszerese (ami maga is irracionális) két racionális szám különbségével egyenlő (ami ugye szintén racionális).

A 2 + 0*i az egzaktul 2, miért lenne az irracionális?

Másrészt komplexek felett kérdés, hogy mit nevezünk egészeknek, ugyanis a racionális szám az definíció szerint „olyan szám, ami felírható két egész szám hányadosaként”.

Amúgy nemigen szokták úgy definiálni a komplex egészeket, hogy az 1 és a 2 ne legyen közöttük, legalábbis a leggyakrabban használt komplex egész halmazoknak (Gauss- és Euler-egészek) eleme az 1 és 2.

Feladat: tessék utána nézni a Gauss- és Euler-egészek definíciójának, majd ellenőrizni, hogy az ω és az i felírhatók-e két Gauss- illetve Euler-egész hányadosaként (i egy olyan szám, melyre i^2 = –1, és ω ≠ 1-re ω^3 = 1).

Lehet-e két irracionális szám összege és különbsége is racionális?

Semmiképp. Ha tudod mik az irracionális szám, és mik a racionálisak, akkor rájössz, hogy lehetetlen.

[link]

Az irracionális számok mindig végtelen, nem szakaszos tizedes törtek.

Ha egy végtelen számjegyű nem szakaszos számból kivonunk egy véges számjegyű számot, akkor az eredmény egy végtelen számjegyű szám, ami szintén nem szakaszos. Ugyan ez a helyzet, ha hozzáadjuk.

És ha egy végtelen számjegyű nem szakaszos számból kivonunk egy végtelen számjegyű, de szakaszos számot, akkor is egy végtelen számjegyű, nem szakaszos számot fogunk kapni. És összeadásnál ugyan ez helyzet.

Ha egy végtelen számjegyű nem szakaszos számból kivonunk egy végtelen számjegyű nem szakaszos számot, akkor semmiképpen nem kaphatunk véges számot. Ugyanis ha az egyik kicsivel is kisebb mint a másik, akkor az egyiknek valamelyik számjegye kisebb volt ugyanannál a helynél, minta másiknak, és ha kivonjuk vagy összeadjuk őket, akkor létre fog jönni egy nullától különböző szám, ami semmiképpen sem lehet véges számjegyű, és semmiképpen nem lehet szakaszos, már csak azért sem, mert lesz olyan szakasz benne, ami nem fog ismétlődni.

#8:

Lehet azért, mert más máshogy tudja / gondolja, és érdekli, hogy az ő elgondolása jó-e, illetve ha nem, akkor hol hibádzik, mint #3.

Továbbá a magyarázatban nincs benne, ami wiki oldalon sincs benne egyértelműen, de nagyon fontos, hogy a a racionális számok és az irracionális számoknak nincs közös metszetük. Például egy ilyen konkrétum, kiegészítés sokat segíthet a megértésben.

Az is korrekt megoldás lett volna, hogy annyit írsz, "Nem lehet". De ettől a megértés nem lesz könnyebb, pedig a válasz jó.

Úgyhogy ha megvan egy jó megoldás, és más kiegészíti, vagy kétkedik benne, azt azért teszik legtöbben, hogy alaposabban, részletesebben megérthető legyen a kérdésre adott válasz és minden kétséget eloszlassanak, ami esetleg rosszul rögzült valakinél.

Ez megfelelő válasz kedves Parafagólem , hogy általában miért egészítenek ki már megválaszolt kérdéseket egyesek?

> „Továbbá a magyarázatban nincs benne, ami wiki oldalon sincs benne egyértelműen, de nagyon fontos, hogy a a racionális számok és az irracionális számoknak nincs közös metszetük.”

Persze, mert ha lenne metszetük, abban olyan racionális számok volnának, amik nem racionálisak. Lásd: „Irracionális számnak nevezzük az olyan valós számokat, melyek nem racionálisak,…” Ez elég egyértelműen ott van a Wikin. Amúgy igen, fontos, hogy tudjuk, mik azok az irracionális számok, ha egyszer az irracionális számokkal akarunk foglalkozni.

Hogy mi a probléma a 11:21-essel:

Végig a „végtelen, nem szakaszos tizedes tört”, illetve „végtelen, szakaszos tizedes tört” kifejezéseket akarja használni (utóbbiban megengedve az ismétlődő csupa 0 szakaszt, azaz a „véges tizedes tört”-et is), csak ezek hosszúak, és folyamatosan következetlenül elhagy belőlük részeket, így kerültek ilyenek a hozzászólásába, hogy

> „Ha egy végtelen számjegyű nem szakaszos számból kivonunk egy végtelen számjegyű nem szakaszos számot, akkor semmiképpen nem kaphatunk véges számot.”

Mi az, hogy végtelen számjegyű, és hogy ne lenne már véges a különbségük?…

Ezt kiküszöbölendő az előbbi kifejezést Q-val, az utóbbit R-rel rövidítve megpróbálom átírni a hozzászólását, ahogy magában gondolta (persze nem biztos, hogy úgy gondolta, de majd megmondja). Tehát a 'Q' azt jelenti, hogy 'végtelen, nem szakaszos tizedes tört',

az 'R' pedig azt, hogy 'végtelen, szakaszos tizedes tört' (így tessék őket magatokban olvasni).

„Az irracionális számok mindig Q-ek.

Ha egy Q-ből kivonunk egy R-et, akkor az eredmény szám, ami szintén Q. Ugyan ez a helyzet, ha hozzáadjuk.

És ha egy Q-ből kivonunk egy R-et, akkor is egy Q-et fogunk kapni. És összeadásnál ugyan ez helyzet.

Ha egy Q-ből kivonunk egy Q-et, akkor semmiképpen nem kaphatunk R-et. Ugyanis ha az egyik kicsivel is kisebb mint a másik, akkor az egyiknek valamelyik számjegye kisebb volt ugyanannál a helynél, minta másiknak, és ha kivonjuk vagy összeadjuk őket, akkor létre fog jönni egy nullától különböző szám, ami semmiképpen sem lehet R, már csak azért sem, mert lesz olyan szakasz benne, ami nem fog ismétlődni.”

Na, így egy kicsit tisztább, de még így is vannak problémák. Az első bekezdést elhisszük, mert definíció, az utána következő kettő is szemléletes végül is. Viszont a harmadiknak rögtön az első mondata nem igaz:

> „Ha egy végtelen számjegyű nem szakaszos számból kivonunk egy végtelen számjegyű nem szakaszos számot, akkor semmiképpen nem kaphatunk véges számot.”

Vegyük például a π = 3,141592653… Q-et, és az 1 + π = 4,141592653… Q-et. Ha az utóbbiból kivonjuk az előbbit, akkor simán 1-et kapunk, ami nagyon is egy R.

A következő mondat sem igaz:

> „Ugyanis ha az egyik kicsivel is kisebb mint a másik, akkor az egyiknek valamelyik számjegye kisebb volt ugyanannál a helynél, minta másiknak, és ha kivonjuk vagy összeadjuk őket, akkor létre fog jönni egy nullától különböző szám,…”

Például a –π < π, ha ezeket összeadjuk, akkor π – π = 0.

Végül ez az indoklás nagyon jó:

> „ami semmiképpen sem lehet véges számjegyű, és semmiképpen nem lehet szakaszos, már csak azért sem, mert lesz olyan szakasz benne, ami nem fog ismétlődni.”

Vesd össze: „Ami semmiképpen sem lehet valami, MÁR CSAK AZÉRT SEM, mert semmiképpen sem lehet valami.”