Fizikus, elméleti fizika, ponttöltés elektrosztatikus potenciálja segítség?

Az analízis jegyzetedben benne kéne legyen, hogy hogyan deriválunk egy skalármezőt…

Az 1/|r – R| helyett az 1/|r|-et mutatom, úgy is csak el van tolva egy konstanssal, de ez alapján meg tudod majd csinálni azt is, legalábbis remélem:

r = x*i + y*j + z*k,

ahol i, j, k a megfelelő egységvektorok a Descartes-koordinátákban.

|r| = gyök(x^2 + y^2 + z^2),

így

1/|r| = (x^2 + y^2 + z^2)^(–1/2).

Definíció szerint

grad(A) = i*dA/dx + j*dA/dy + k*dA/dz (most minden d parciális derivált szeretne lenni).

grad(1/|r|) tehát

i*(2*x)*(–1/2*(x^2 + y^2 + z^2)^(–3/2)) + j*(2*y)*(–1/2*(x^2 + y^2 + z^2)^(–3/2)) + k*(2*z)*(–1/2*(x^2 + y^2 + z^2)^(–3/2)),

a tagok első tényezője az egységvektor, a második a belső (A^2 + valami) függvény deriváltja, a harmadik pedig a külső függvényé (B^(–1/2)). A 2-es mindegyik tagban kiesik, és mindegyik tagból ki lehet emelni –1/gyök(x^2 + y^2 + z^2)^3-öt, ami éppen –1/|r|^3.

Tehát a végeredmény

–1/|r|^3*(i*x + j*y + k*z) = –r/|r|^3.

A 9. dián van a ponttöltés térerőssége, tehát a ponttöltés potenciálja egy olyan dolog lesz, ami gradiensének a –1-szerese (lásd definíció a 13. dián), az egyezik a térerősséggel. Mivel a konstans (q vagy –q, majd megnézed) a deriváláson átvihető, szerintem látszik, hogy ezt kell a potenciálnak választani (illetve még egy konstanst szabad hozzáadni, de az nem oszt nem szoroz).