Hogyan kell kiszámolni a (√x+2) + (√x-3) =5 egyenletet?

Az eredetiben is van négyzetre emelés?

Mert nem látszik, vagy nincs is?

Soha ne felejtsd el a jobb oldalt is négyzetre emelni, és a zárójelet is érdemes a gyökjel után rakni, mint elé:

√(x+2) + √(x-3) =5

Nem nehéz kitalálni, hogy a bal oldali függvény, ha x>=3, szigorúan monoton nő, emiatt biztos, hogy legfeljebb 1 megoldása lehet az egyenletnek. Először próbáljuk meg az egész számok halmazán megoldani az egyenletet, magyarul írjunk be x helyére egész számokat, hátha megtaláljuk a megoldást. Meg is találjuk gyorsan a megoldást; x=7. Mivel a függvény szigorúan monoton növő, ezért több megoldása nem lesz az egyenletnek.

Ha az általánosan tanult módszerrel akarod megcsinálni, akkor négyzetre kell emelni, de mielőtt ezt megtennénk, el kell mondanunk, hogy a bal oldal x>=3-ra biztosan pozitív lesz, ezért nem kell esetszétválasztást végezni. Ezt kapjuk:

x+2+2*√((x+2)(x-3))+x-3=25, vagyis

2x+2*√((x+2)(x-3))=26, ebből

x+√((x+2)(x-3))=13 /kivonunk x-et

√((x+2)(x-3))=13-x

Az egyenletmegoldás elején kikötöttük, hogy x>=3. Ebből az egyenletből azt is meg tudjuk mondani, hogy x<=13, mivel a bal oldali összeg biztosan nemnegatív, emiatt a jobb oldalnak is nemnegatívnak kell lennie. Mivel ez megvan, minden gond nélkül újból négyzetre emelhetünk:

(x+2)*(x-3)=(13-x)^2

x^2-x-6=169-26x+x^2

25x=175

x=7.

Mivel a bal oldal szigorúan monoton nő az értelmezési tartományon, több megoldás nincs. Komplexben persze még lehet megoldás, de ezt most nem kérdezte senki.

Megoldástechnika

A feladat

√(x + 2) + √(x - 3) = 5

Átrendezés

√(x + 2) = 5 - √(x - 3)

Négyzetre emelés

x + 2 = 25 - 10√(x - 3) + x - 3

Összevonva

10√(x - 3) = 20

Egyszerűsítve

√(x - 3) = 2

Négyzetre emelve

x - 3 = 4

és

x = 7

====