Hogy kell megoldani az alábbi feladatot : x1+x2+x3. +x10=20 A tanár azt mondta variációt számoljunk de magát a képletet se értem?

Tehát nem egészekről, hanem valós számokról van szó. A kérdés az, hogy hányféle olyan 10 szám van, aminek összege 20. Erre minden számolás nélkül könnyű a válasz: végtelen.

Ha vannak egyéb kritériumok is, amik csak véges számú lehetőséget adnak, akkor van ilyen kérdésnek értelme. A kérdező azért nem érti, mert a feladat nem értelmesen van megfogalmazva.

A variáció lényege, hogy van valahány elemből álló halmazunk. Ezekből kivehetünk kevesebb számú elemet úgy, hogy valamilyen tulajdonságnak megfeleljenek. A kérdés az, ha azt is különböző esetnek tekintjük, ha ugyanazokat más sorrendben szedtük ki, akkor hányféleképpen lehet kiszedni elemeket.

A példában nincs megmondva, miféle számok közül kell tízet választani. Ezzel a példa már nem is példa.

Többféle variáció van, ennek elmagyarázása meghaladja e fórum kereteit (vagy az én türelmemet).

A következőképpen érdemes eljárni;

Az első körben, mivel mindegyik tag legalább 1 (és feltételezem, egész), ezért mindegyik tagból vonjunk le 1-et, legyen x1-1=y1, x2-1=y2, ... x10-1=y10, ekkor ez lesz az egyenlet:

y1+y2+...+y10=10 (mivel minden tagból elvettünk 1-et, ezért az összegből 10-et vettünk el, így lesz 20-ból 10).

Így most az a kérdés, hogy milyen nemnegatív egészeket válasszunk az y-ok helyére, hogy összegük 10 legyen. A választ a következőképpen kapjuk meg: írjunk le egymás mellé 10 darab 1-est: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, majd ezen egyesek közé tegyünk 9 darab |-t, két | közötti egyesek száma (illetve a széleken az első pálcikától balra és az utolsó pálcikától jobbra) meghatározza adott y értékét, például: 1 1 | 1 | | 1 1 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | | , erről ezt az összeget tudjuk leolvasni: 2+1+0+3+1+1+1+1+0+0. Ha fordítva akarjuk megcsinálni, akkor így írható fel: 5+0+1+0+2+0+0+1+0+1 -> 1 1 1 1 1 | | 1 | | 1 1 | | | 1 | | 1. Nem nehéz kitalálni, hogy minden összeghez pontosan egy szimbólumsor, és minden szimbólumsorhoz pontosan 1 összeg tartozik, tehát ezek között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés van. Ez azért jó, mert ha az egyiket meg tudjuk számolni, akkor azzal a másikat is megszámoltuk. A szimbólumsort meg tudjuk számolni az ismétléses permutációnál tanultak szerint: 19!/(10!*9!)=92.378. Nem véletlen, hogy ez a hányados megegyezik (19 alatt a 9)-cel, illetve (19 alatt a 10)-zel; úgy is feltehettük volna a kérdést, hogy a 19 helyre hányféleképpen tehettük volna le a 10 1-est ((19 alatt a 10)) vagy a 9 pálcikát ((19 alatt a 9)), hogy a sorrendjük nem számít.

Egy gond viszont van ezzel a számolással; a feladat azt mondja, hogy az összeg minden tagja legfeljebb 10, viszont ha visszaírjuk az eredetibe, adott esetben lehet olyan, hogy 11 lesz köztük. Például ha az y-os összegben 0+0+10+0+0+0+0+0+0+0=10 volt, akkor az x-es összegben, miután a biztos 1-eseket visszapakoltuk (amiket az elején levontunk), ezt kapjuk: 1+1+11+1+1+1+1+1+1+1=20, tehát az a kérdés, hogy hány esetben lesz az y-os összegben a tagok között legalább 10. Szerencsére csak 10 lehet, ami nem lesz jó, erről viszont tudjuk, hogy 10 esetben fordulhat elő. Tehát a végeredmény: 92.378-10=92.368.

Azért kellett az elején azt a plusz kört megtenni, hogy levontuk az egyeseket, mert ha alapból ráeresztjük ezt a gondolatmenetet (mert megtehettük volna), akkor egy csomó olyan esetet is megszámoltunk volna, ahol 2 vagy több pálcika kerül egymás mellé, így egy vagy több 0 lett volna az x-ek között, így a következő lépés ezek levonása lett volna, viszont az több, mint körülményes. Ezért volt érdemes így számolni, jóval kevesebbet kellett korrigálni.

Ha valami nem világos, várom kérdéseidet :)