Amikor határozatlan integrálszámításnál kijön a végeredmény, az végül is minek az eredménye? Minek az értéke az a szám? Mit számoltunk végülis ki?

Határozatlan integrál esetében az eredmény egy (pontosabban több) függvény. A határozatlan integrálás lényege, hogy keresitek azt a függvényt, amelynek deriváltja az integrálandó függvény.

Gyakorlati haszna leginkább a határozott integrálszámításban lesz, ahol is kiderül, hogy egy intervallumban egy függvény határozott integrálja, avagy a függvény alatti terület nagysága egyenlő a határozatlan integrálnak az intervallum végpontjain felvett értékeinek különbségével.

De ezt az infót gondolom megtaláltad a Wikipédián.

Ha megnézed az integrál definícióját, levezetését, abból rájöhetsz.

Nézzük előbb a határozott integrált. A definícióból látható, hogy adhatunk neki egy geometriai és egy fizikai jelentést. Geometriailag az integrál a függvény alatti terület. Fizikailag pedig egy mozgó test által megtett út. Ezeket minden konkrét esetben meg lehet határozni sokféle módszerrel.

Most képzeld el, hogy egy függvény (aminek ugye geometriailag van alatta való területe, a fizikában pedig egy folyamatot ír le) viselkedésének jellemzésére van egy másik függvényed. Ha ezt biztosan tudod, akkor az előbbi problémakörre az egyszerű válasz: a kívánt eredményhez mindössze be kell helyettesíteni az új függvénybe. Nem kell mindig meggondolni, miről van szó, hogy jön ki, van egy integrálfüggvényünk, helyettesítünk, kész.

Aki jól tudja elképzelni egy függvény viselkedését a felírt képletből (pl. az x^2 egy parabola), az az eredeti folyamat fontos jellemzőit az integrálfüggvényre nézve, azonnal látja. Bármely pontban!

Röviden tehát mit számoltunk ki az integálfüggvény megadásával? Az eredeti függvény által leírt folyamat fontos más jellemzőit. A parabolát elképzeled. Az egy egyszerű gyorsuló mozgás képe. A megtett út pedig a harmadfokú függvény szerint változik.