Negativ számmal mi történik negativ kitevőjű hatvány-nál?

Ugyanaz, mint pozitív számokkal.

(-5)^(-1) = 1/(-5)

Inkább a racionális kitevőnél van probléma. Definíció szerint:

a^(p/q) = (a^p)^(1/q)

Pl. 8^(1/3) = ³√-8 = -2

Viszont 1/3 = 2/6

8^(2/6) = ⁶√((-8)²) = ⁶√64 = 2

Ez még oké, ha kikötjük, hogy p-nek és q-nak relatív prímeknek kell lenniük.

A gond inkább az irracionális kivetőknél van:

-8^π = ?

Definíció szerint:

a^b = lim[x→b] a^x

Csakhogy ez negatív a esetén nem lesz konvergens.

Legtöbbször negatív szám hatványát csak egész kitevőre értelmezik. (Ha nem, azt inkább külön definiálni szokták.)

A negatív számok törtkitevős hatványait komplex hatványozással szokták definiálni, ami többértékű. A fenti egyenlet halmazegyenlőséggé alakul.

A negatív kitevős hatványok még mennek, a szám a nevezőbe kerül.