Gúla térogatának meghatározása?

> végtelen soros módszerrel kilehet hozni?

Ki lehet hozni, bár szerintem kevésbé szemléletes.

Képzeld el, hogy a gúlát függőlegesen felszeleteled, és minden csonka gúla helyére egy ugyanilyen alapú hasábot helyezel. (Kvázi, mint ahogy egy piramis felépül, csak itt nem kell négyzet alapúnak lennie az egyes rétegeknek.) Itt egységnek egy-egy ilyen szelet magasságát fogjuk venni.

A magasság tehát n, hiszen n darab rétegünk van, és minden réteg egységnyi magas. Ugye ekkor a legalsó réteg területét ki lehet fejezni n² valahányszorosával, tehát az alapterület c*n² lesz.

Az egyes rétegek térfogata négyzetesen fog növekedni.

V = c*1² + c*2² + c*3² + c*4² + … + c*n²

V = c * (1² + 2² + 3² + … + n²) = c * S

Ahol, a S az n darab négyzetszám összege. Ennek a képlete:

S = n * (n+1) * (2n + 1) / 6

( Lásd: [link] )

Ugye minél kisebbek a „pixelek”, azaz minél kisebb az egység a test méretéhez képest, annál pontosabban fogod megkapni a gúla térfogatát. Viszont minél nagyobb ez az n, az n+1 és a 2n + 1 esetén annál inkább elhanyagolható lesz a +1-es tag. Kellően nagy n esetén:

S ≈ n * n * 2n / 6 = 2n³ / 6 = n³ / 3

Visszatérve a térfogat képletére:

V = c * S = c * n³ / 3

Ebből n ugye a magasság, c*n² az alap, a kettő szorzata c*n³. Ergo meg is kaptuk a képletet, a gúla térfogata az alapterület és a magasság szorzatának a harmada.

Térfogati integrállal is nagyon szépen meg lehet csinálni, és az nemcsak gúlára igaz.

Mellesleg gyakorlatilag az előző válaszoló is azt csinálta, de végülis ott csak egy irányba van véve az integrálközelítő összeg.

Egyébként az a módszer, amit kifejtett a válaszoló, már nagyon régóta ismert, és az volt az első módszer, ahogy meghatározták a gúla térfogatát.

Van egy filmsorozat, a matek története az a címe. Négy részből áll, egyik része pont a gúla térfogatára is kitér, és a piramison át szemlélteti a módszert.