Trigonometrikus körben miért a függőleges a szinusztengely és a vízszintes a koszinusztengely?

Először azt értsük meg, hogy a helyvektor koordinátái mit is jelentenek; az (u;v) azt jelenti, hogy az origóból lépünk u-val az x-tengellyel párhuzamosan, végül v-vel az y-tengellyel párhuzamosan.

Forgassuk el az (1;0) vektort Ł szöggel. 4 esetet kivéve (amikor a vektor egybeesik a tengelyekkel) a vektor végpontjából merőlegest állítva az x-tengelyre derékszögű háromszöget kapunk. Ez azért jó nekünk, mert ennek a derékszögű háromszögnek a befogói pont azok a lépések, amiket fent írtam. A derékszögű háromszögben felírva az Ł szög koszinuszát megkapjuk a víszintes befogó hosszát, ez pont cos(Ł) hosszú, a függőleges befogót az Ł szög szinuszával számoljuk ki, és annak hossza így sin(Ł) lesz, tehát a vektor a (cos(Ł);sin(Ł)) pontba fog mutatni. Ez az eljárás az első síknegyedben mindenféle fennakadás nélkül működik, lévén a derékszögű háromszög másik két szöge hegyesszög. A többi negyedben szeretnénk, hogy ez a szabály megmaradjon, de az eddig lefektetett szabályokkal is összhangban kell lennie, ezért lesz például a cos(150°) számértéke ugyanannyi, mint cos(30°)-é, viszont a cos(150°) esetén az egységvektor negatív irányba néz, ezért lesz negatív előjelű.

A maradék 4 esetben is meg szeretnénk tartani a szabályokat, és mivel tudjuk, hogy ha 90°-kal elforgatjuk a vektort, abból a (0;1) vektor lesz, ezért definiáljuk sin(90°)-ot 1-nek és cos(90°)-ot 0-nak.