Honnan lehet tudni, hogy egy közönséges tört végtelen szakaszos tizedestört, vagy véges tizedes tört?

Az első jót mondott, de ennyi nem elég; például a 7/14 tört nevezőjében van 7-es, mégis véges lesz a tizedestört alakja (0,5).

A jó válasz az, hogy csak ránézésre (tehát semmilyen számolást nem végezhetünk) nem mondható meg minden esetben egyértelműen. Ahhoz, hogy meg tudjuk mondani, egyszerűsítenünk kell a törtet a lehető legegyszerűbb alakra. Ha ez megvan, akkor működik az, amit fent írtak, vagyis ha a nevezőben lévő szám csak 2-esek és 5-ösök szorzatára bomlik fel, akkor lesz véges az eredmény, egyébként nem.

A 4702/1254 esetén egyszerűsítjük a törtet, és 2351/627 törtet kapjuk. A 627-ről látható, hogy sem 5-tel, sem 2-vel nem osztható, tehát biztos, hogy ez nem bontható fel 2-esek és 5-ösök szorzatára, így a tört tizedestört alakja biztosan végtelen szakaszos lesz.

Létezik.

Pl. az 1/9967-nek 9966 számjegyből áll az ismétlődő szakasza.

Egyébként itt érdemes megjegyezni, hogy egy a/b alakú törtnek nem lehet (b-1)-nél hosszabb az ismétlődő szakasza.

#6: e^pi-ről tudjuk, hogy irracionális, sőt, transzcendens is [link]

De amúgy igazad van, sok hasonló szám, pl. e+pi nyitott.

7-es; nem az volt a kérdés, hogy a törtek mindig végesek-e vagy végtelen szakaszosak-e, hanem hogy egy szakasz hossza mekkora lehet. Erre adtam azt a választ, hogy akármekkora lehet, és ha van egy végtelen tizedestörtünk, és abban nem találunk ismétlődést, az nem jelenti azt, hogy nem lehet racionális. Persze ez egy kicsit eltért a tárgytól, lehet, hogy a Kérdező még nem is hallott az irracionális számokról.

***

Vegyünk egy konkrét számot, például az 1/7-et. Az állítás azt mondja, hogy ebben a szakaszok hossza legfeljebb 6 lehet. Magát a tizedestörtalakot úgy kapjuk meg, hogy az 1-et elosztjuk a 7-tel, jobbára maradékosan;

1 : 7 = 0,142857...

10

30

20

60

40

50

10

.

.

.

Látható, hogy innen már a maradékok, így a hányadosok is ismétlődni fognak, mivel ha mondjuk a 40-et később is elosztod 7-tel, akkor is 5 lesz a hányados és 5 lesz a maradék. Azt nyilván tudod, hogy ha egy számmal osztasz, akkor annál csak kevesebb lehet a maradék, vagyis 1,2,3,4,5,6 (lehetne 0 is, de itt nem nagyon lesz ilyen, lévén akkor már véges tizedestörtet kapnánk). Ez általánosságban is igaz, vagyis ha b-vel osztasz, akkor a maradékok: 1,2,...,(b-1), tehát a szakasz is csak ilyen hosszú lehet. Ennél rövidebb lehet a szakaszok hossza, például az 1/3 esetén 3-mal osztunk, mégis 1 hosszú szakaszok vannak (0,333...), ugyanígy az 1/9 esetén is (0,111...).

***

Azt állítottam, hogy ha a tört tovább nem egyszerűsíthető, és a nevező 2-esek és 5-ösök szorzatára bomlik, akkor lesz véges. Ez az állítás sem teljesen igaz, még van két kivétel; a 12/4 esetén egyszerűsítés után 3/1 lesz, aminek eredménye 3, ami nyilván véges, de az 1 nem írható fel 2 és 5 szorzataként. Tehát a fenti megállapítás azzal együtt érvényes, hogy ha egy tört értéke nem egész.