Mit lehet tudni a matematikai "parajelenségekről"?

Nekem pl. a paradoxonok sokkal inkább parajelenségek a halmazelmélet szempontjából.

Nyilván a hétköznapi működésből tudjuk azt absztrahálni matematika segítségével, hogy vannak igaz és hamis mondatok. Tehát két halmazba be lehet minden mondatot sorolni. Tegyük fel, hogy vannak kártyák, rajtuk kijelentésekkel. Nosza, fogjunk egy asztalt, tegyük bal oldalra az igaz, jobb oldalra a hamis mondatokat. Ezzel nincs is gond, amíg nem jön egy olyan mondat, hogy „Ez a kártya az asztal jobb oldalára fog kerülni.”. Oké, próbáljuk letenni bal oldalra. Nos ekkor a mondat nem igaz, így semmi keresnivalója a bal oldalon, muszáj lesz onnan felvenni. Oké, próbáljuk letenni a jobb oldalra. Nos ekkor is gond van, hiszen így meg a kártyán szereplő állítás igaz lesz, így semmi keresnivalója a jobb oldalon. Eddig nyilván ismert a történet, tudjuk, hogy mi az a paradoxon.

De akkor ez most mit jelent? Azt, hogy ezt a bizonyos asztalt nem kettő, hanem három részre kell osztani? Mert hát mit csináljunk a sem balra, sem jobbra nem tehető kártyákkal, nyilván ésszerű, ha ezeket középre tesszük egy kupacra, és felcímkézzük ezt a rész úgy, hogy „paradoxonok”. Csakhogy így is gond van. Nyilván így sem tud a kártya sem bal, sem jobb oldalra kerülni, hát próbáljuk letenni középre. Csakhogy a kártya így középen van és azt állítja, hogy neki jobb oldalon lesz a helye. Ha középen van, akkor ez az állítás egyértelműen hamis, tehát mégis jobb oldalra kellene tenni. Valahogy középen sem maradhat az a kártya akkor. Azzal, hogy a kártyán szereplő kijelentést paradoxonnak nevezzük, az valahol mégsem egy harmadik igazságérték, mert ha az lenne, akkor sem tudnánk bizonyos kártyákkal mit kezdeni.

(Egyébként azokkal a kártyákkal is gond, van, amik nem paradoxonok. Mert ha van egy „ez az állítás igaz” kártyád, azt nyilván az ember ösztönösen bal oldalra tenné, és akkor valóban igaz is lesz. De ha leteszed jobb oldalra, akkor sincs probléma, hiszen így az állítás nem lesz igaz, tehát jobb oldalon is ugyanúgy jó helye van. Vagy ez is paradoxon? Akkor meg ha leteszed középre a paradoxonok közé, akkor meg egyértelműen hamis lesz a kártya állítása, tehát irány a jobb oldal.)

És itt a gond, mert a matematika nagyon elegánsan gyakorlatilag azt csinálta, hogy „betiltotta” az ilyen jellegű önhivatkozó állításokat. Elegáns, mert így egy ellentmondásmentes rendszert kapunk, de valahogy mégis problémás ez is. Mert hogy az életben vannak önhivatkozó állítások. Számtalanszor használjuk is. Pl. a Curry paradoxonban pont az a szép, hogy leírható egy teljesen hétköznapi szófordulattal: Ha nem tévedek, a mikulás létezik. Vagy az is önhivatkozás, ha azt mondom, hogy ebben a mondatban 11 darab a betű van. A hétköznapi életben nincs is ezzel általában gondunk, tudjuk értelmezni, megnézzük, tényleg annyi van benne. Vagy megnézzük és kiderül, hogy nem annyi van benne. Hétköznapi értelemben el tudjuk dönteni, hogy egy ilyen önhivatkozó állítás igaz-e vagy sem.

És itt van az, ahol kilóg a lóláb. Mert a matematika azt mondja, hogy számára nem megengedettek az ilyen önhivatkozó állítások, nem tudja ezt a kérdéskört tárgyalni. Micsoda? Hiszen a hétköznapi életben simán tudjuk ezeket kezelni, de nem tudunk olyan matematikai rendszert absztrahálni, ami erre képes lenne? Csak azért kidob a tárgyalási köréből egy adott jellegzetességgel bíró témakört, mert abban néha-néha előfordul olyan ellentmondás, amit nem lehet feloldani? A matematika azt mondja, hogy bizonyos típusú kijelentésekkel nem tud mit kezdeni, nem tud róluk mit mondani, amiről viszont egy öt éves gyerek meg az esetek zömében igen?

Ez inkább parajelenség, hiszen túlmutat a matematika témakörén, ez úgy a matematika alapjait kérdőjelezi meg, filozófiai természetű problémákat vet fel. (Nyilván azon túl, hogy a matematika ettől még marad egy nagyon jól használható eszköz a természettudományok kezében.)

Ehhez képest az, hogy a 0/0, a 0^0, a ∞/∞, a ∞/∞, az 1^∞, a 0*∞, vagy a ∞^0 esetén ezeknek a kifejezéseknek nincs meghatározható értéke, az maximum csak érdekesség. Ettől még lehet adott esetben mondjuk határértékként kezelni és akkor meghatározhatóak ezek az értékek. Vagy nem, de akkor sem vezet semmiféle ellentmondásra, a matematika ettől még konzisztens rendszer marad, alkalmas arra, hogy absztrakt térben leírjon valós jelenségek közötti összefüggéseket. Szintén érdekes, de nem okoz különösebb törést a matematikában, hogy mondjuk a tetrációnak – így magasabb rendű hiperoperátoroknak – a valós kitevőkre való kiterjesztésére nincs általánosan elfogadott módszer.

Akkor már inkább parajelenség a kontinuumhipotézis megoldása. Na annak a következményei is kifelé mutatnak a matematikából, megint csak a matematika alapjainak helyességét kérdőjelezik meg, filozófiai természetű kérdéseket vetnek fel.

Gondolom erre gondol:

[link] (mátrix helyett operátorokat írva be)

#16:

Nem tudom, hogy amikor 8 éves voltál miért nem mesélték ezt el neked, de ami késik nem múlik: semmi poén nincsen abban, ha négyszer homályosan rákérdezel valakinél egy olyan definícióra/fogalomra, amit nem ismer.