Van 13 darab érménk. Ezek közül az egyik eltérő súlyú, könnyebb vagy nehezebb a többinél. Adott egy kétkarú mérleg. Hogyan állapíthatjuk meg, hogy melyik a "hamis" érme, legfeljebb 3 méréssel?

Én csak úgy tudom, hogy ha előre tudjuk, nehezebbet vagy könnyebbet keresünk. Nézzük könnyebbel:

1. mérés: 6-6 érme a két karba, egyet nem mérünk. Ha a mérleg egyenlő tömeget mutat, akkor az a kimaradt érme a "hamis". Ha valamelyik 6-os csoport könnyebb a másiknál, akkor a könnyebbet megtartjuk.

2. mérés: a könnyebb 6-osból 3-3 érmét a mérleg két karjára helyezünk. A könnyebbikben lesz a keresett érme.

3. mérés: a megmaradó 3 érméből 1-1 kerül a mérleg két karjára. Ha azonos tömegűek, akkor a nem mért érme a "hamis", ha valamelyik könnyebb, akkor az.

Ugyanígy végigjátszható a nehezebbek kiválasztásával, akkor a nagyobb tömegű hamisat találjuk meg.

Megoldható úgy is, ha nem tudjuk könnyebb vagy nehezebb a hamis érme.

Számozzuk az érméket 1-től 13-ig

1. mérés:

1,2,3,4 <----> 5,6,7,8

Három eset lehetséges.

I.

Az első, amikor az 1,2,3,4 csoport nehezebb. Ekkor a következő 2. mérés legyen

1,2,5 <----> 3,4,6

Ha ez a mérés EGYENLŐ a hamis érme a 7. vagy a 8. A harmadik méréssel ez eldönthető:

pl. 1 <---> 7

Ha az előző mérésnél 1,2,5 nehezebb volt, akkor vagy az 1,2 nehezebb, vagy a 6 könnyebb. Ilyenkor a 3. mérés:

1 <---> 2. Ha ezek egyenlőek a 6. a könnyebb (hamis), ha nem egyenlőek a nehezebb érme a hamis.

Ha az 1,2,5 könnyebb volt, akkor vagy a 3,4 a nehezebb, vagy az 5 könnyebb. Ekkor a 3. mérés:

3 <---> 4 Itt a nehezebb a hamis, ha egyformák az 5. a hamis.

II. eset

Amikor az 5,6,7,8 érme volt a nehezebb. Ilyenkor az eset ugyanaz mint az előbbi (I.) Csak az érméket kell átszámozni és úgy végigjátszani az előbb leírtakat.

III. eset

Amikor az alapmérés egyenlő. Ilyenkor a hamis érme a 9,10,11,12,13 érmék valamelyike.

Ilyenkor a 2. mérés:

8,9 <--->10,11 (igen, a 8. érme a már mért csoportból van, és azért fontos mert viszonyíthatunk hozzá).

Ha egyforma a két oldal, a hamis a 12,13 érmék valamelyike. A 3. mérés ilyenkor egyszerű, pl:

bármelyiket feltesszük szemben az egyenlőnek mért csoportból vett érmével.

Ha nem egyenlőek, akkor mondjuk a 8,9 nehezebb. Ilyenkor a 3. mérés:

10 <---> 11. Ha ezek egyenlőek a 9. a nehezebb és hamis, ha nem egyenlőek, a könnyebbik a hamis érme.

Ha a 8,9 könyebb volt, akkor a 3. mérés szintén

10 <---> 11. Ha ezek egyenlőek a 9. a könnyebb és hamis, ha nem egyenlőek, a nehezebbik a hamis érme.

Kb. ennyi, remélem nem írtam el sehol ...

maci