A sebesség négyzetét úgy kell felírni, hogy m'2/s'2, vagy úgy hogy m/s?

m^2/s^2 a mértékegysége.

Egy fizikai mennyiség, mint a sebesség, áll a sebesség értékéből, és a mértékegységből. Ha négyzetre emeled a mennyiséget, mindkettőt azonosan négyzetre kell emelni. Az értéket is, és a mértékegységet is.

A műveleteket mindig a mértékegységgel együtt végezzük el. Pl:

3 * m/s * 3 * m/s = 3*3 * m*m / (s*s) = 9 m^2/s^2

A mértékegység tulajdonképpen egy szorzás. Mikor azt mondom, hogy egy távolság 3 méter, akkor tulajdonképpen azt mondom, hogy a méternek nevezett hosszúságnak a háromszorosa:

3 m = 3 * m

Persze így nagyon nem szokás jelölni, de tulajdonképpen ez az értelme. Sőt mértékegységváltáskor is ilyesmi történik:

1 km = 1000 m

1 * km = 1000 * m

km = 1000 * m

Tehát:

3 km = 3 * km

Behelyettesítve a „km” helyére az „1000 * m”-t:

3 * km = 3 * 1000 * m = 3000 * m = 3000 m

~ ~ ~

Magyarán pontosan úgy viselkednek a mértékegységek, mintha számok vagy ismeretlenek lennének.

(3 m/s)² = 3 * m / s * 3 * m / s

És mivel a szorzás asszociatív művelet, így:

3 * m / s * 3 * m / s = 3 * 3 * m / s * m /s = 3² (m/s)²

Vagy:

3 * m / s * 3 * m / s = 3 * 3 * m * m / s / s = 3 * 3 * m * m / (s * s) = 3² m²/s²

Tehát jó a m²/s² is, meg a (m/s)², de általában inkább szeretik használni a m²/s² formát. Sőt sok helyen az osztás kihagyásához ezt a formát használják: m²s⁻².

#3 (2*Sü)

Alapvetően egyetértek azzal amit írsz, de a mértékegység átváltásos részben logikai hiba van, ugyanis ez a sor értelmetlen:

"km = 1000 * m"

Ahogy az első válaszoló írta, egy mennyiség a mérőszámból és a mértékegységből áll, itt pedig hiányzik a mérőszám. Ráadásul nem is vezethető le az előző sorból.

Ha szorzásokkal akarjuk felírni az átváltást, az így lesz helyes:

1*km = 1000 *m

3*km = 3*(1*km) = 3*(1000*m) = 3000*m

(A zárójeles kiemelés nyilván nem szükséges, csak azért alkalmaztam, hogy jobban látszódjon a behelyettesítés.)

Formálisan helyes a kérdésben szereplő komment, valójában (logikailag) nem. A sebesség mértékegysége a m/s (MKS mértékrendszerben). Itt a tört egy objektumnak számít, nem két objektum segítségével elvégzett műveletnek. Ezért a sebesség négyzete (m/s)^2. helyesen.

A mértékegység nem szorzás. Ez szintén egy formális kezelés, fizikai fogalmak ilyen interpretációja a tanulás legrosszabb módját, a magolást sugalmazza akaratlanul is.

A matematikában használunk puszta számokat, amelyekkel műveletek végezhetők. A fizikában azonban folyamatok és állapotok vannak, amelyeket mindig két adattal jellemzünk, és e két adat szerves egységet alkot, nem szétválasztható (kivéve a tanulás első fázisában, mikor a fogalmakat magyarázzuk el). Tehát a sebesség a mozgás egy tulajdonsága, amelyet két adat jellemez, egyik a nagyság, amely a viszonyítást teszi lehetővé, másik a mértékegység, amely elhatárolja más jelenségektől.

Ezért a sebesség négyzete (önmagával való szorzása) azt jelenti, mindkét jellemzőjét négyzetre kell emelni. A v=5 m/s sebesség négyzete v^2 = 25 (m/s)^2. Kukacoskodásnak tűnhet, hozzáértő számára talán az is, azonban a fogalmakat kevéssé vagy nem ismerő számára a tévhitek forrása. Itt e fórum is hemzseg ezektől. Kizárólag emiatt tettem szóvá.

"Itt a tört egy objektumnak számít, nem két objektum segítségével elvégzett műveletnek."

De azért előfordul, hogy a mértékegységek elemeivel egyszerűsítünk, vagy összevonjuk őket. Pl:

(1 m/s) / (1 s) = 1 m/(s^2)

"Ezért a sebesség négyzete (m/s)^2. helyesen."

Nem. Nyilván így is le lehet írni, de ez teljesen egyenértékű a m^2/s^2 kifejezéssel. Általában egyébként az utóbbit használják (például meg lehet nézni a Joule mértékegység megfelelő átírását.

[link]

"A mértékegység nem szorzás."

Én sem hallottam még így, de logikailag működik (azzal a kitétellel, hogy a mértékegységnek és a mérőszámnak önmagában nincs értelme!). Valójában persze az egy egységnyi mennyiség (pl. 1 m) szorzatáról van szó. Egyébként több helyen is hivatkoznak így rá.

"A mérés eredményét így mindig egy mérőszám és egy mértékegység szorzatából álló mennyiség adja meg."

[link]

"A (mérő)számot az egység értelmezi „szimbolikus szorzat”formájában. "

[link]

"Mennyiség = mérőszám * mértékegység"

[link]

"Tehát a sebesség a mozgás egy tulajdonsága, amelyet két adat jellemez, egyik a nagyság, amely a viszonyítást teszi lehetővé, másik a mértékegység, amely elhatárolja más jelenségektől."

Én ezt egy adatnak mondanám (persze ez nézőpont kérdése). A nagyság meghatározásban a mértékegység is nagyon fontos szerepet játszik! (Elég csak a mértékegység átváltásokra gondolni.) Egyébként a sebesség pont egy vektormennyiség, aminek iránya is van.

Még egy egyszerű példa a mértékegységek műveletére, itt konkrétan egyszerűsítünk, mint a törteknél általában:

2 s * 3 m/s = 6 m

és nem 6 s m/s... vagy nem is tudom, hogy lehetne írni, hogy ne művelet legyen.

A számérték négyzetre emelésekor a hozzátartozó mértékegységet is négyzetre kell emelni.

Ugyanígy egyszerűsíteni is lehet a mértékegységekkel.

Való igaz, hogy a fizikában – hacsak nem dimenzió nélküli mennyiségről van szó – a mérőszám és a mértékegység szétválaszthatatlan. Mondjuk távolság esetén értelmetlen azt mondani, hogy az út hossza 200. 200 micsoda? Kell tehát valamilyen közmegállapodással kapott, mindenki számára ismert mennyiség, amit egynek tekintünk. Ezért nevezzük EGYségnek, mértékEGYségnek. A mérőszám azt mondja meg, hogy ha ezt a mértékegységet – a métert – tekintjük 1 egységnyi távolságnak, akkor a vizsgát távolság ennek a hánySZORorsa. Ha a távolság 200 méter, az azt jelenti, hogy a méternek ismert távolságnak a kétszázszorosáról van szó.

Ez nem csak formailag, de tartalmilag, lényegileg is szorzás. Nem tanítják így, nem magyarázzák így – egyébként nem is értem miért –, de mégis mi lenne a mérőszám és a mértékegység közötti reláció, ha nem szorzás?

~ ~ ~

@sadam87 #4

> "km = 1000 * m"

> Ahogy az első válaszoló írta, egy mennyiség a mérőszámból és a mértékegységből áll, itt pedig hiányzik a mérőszám.

Az előző sorban ott volt. De kilométernek azt a mértékEGYséget nevezzük (magyarán 1 km-ről van szó), ami 1000 méter hosszú, olyan hosszú, mint ezer darab méterrúd egymás után. Vagy máshogy fogalmazva a kilométer az egy 1000 méteres távolsággal azonos fogalom.

~ ~ ~

A dolog ott kezd el bonyolódni, mikor nem egyszerű mértékegységekről van szó. És itt már kell némi absztrakció, illetve megint nem árt, ha a mérőszámra és a mértékegységre úgy tekintünk, mint szorzásra.

Mert van osztás. Az osztásban a „nevező” az egy darabszám, annak nincs mértékegysége. Ha 6 tortát osztok 2-vel, akkor 3 tortát kapok. Ha 6 kg-ot osztok 2-vel, akkor 3 kg-ot kapok. Az osztó mindig egy darabszám, aminek nincs mértékegysége. Sőt az osztás önmagában is egy érdekes kifejezés, ha belegondolunk, hiszen attól, hogy 6 kg-ot 2 felé vágok, attól még ugyanúgy 6 kg-om van. Az osztás annak a rövidebb megfogalmazása, hogy ha 6 kg-ot 2 egyenlő részre vágok, akkor a két rész közül az egyik az hány kg-os lesz.

Aztán van a bennfoglalás. Ez a szorzás másik inverz művelete. A 6 tortában hányszor van meg a 2 torta. Megvan ugye egyszer, az 2 torta, aztán meg van még egyszer, az már 4 torta, meg megvan harmadszor is, az már úgy 6 torta. Oké, csak itt az „nevező” ugyanolyan minőség kell, hogy legyen, mint a „számláló”.

De mit jelent az, hogy:

v = s / t = 6 m / 2 s

Nyilván nem lehet itt szó osztásról, mert az osztó nem dimenzió nélküli mennyiség, nem „darabszám”. Nem lehet szó bennfoglalásról sem, mert a méter nem azonos minőség a másodperccel. Hányszor van meg a 2 másodperc a 6 méterben? Így ránézve értelmezhetetlen az egész. Azért, mert itt van némi csalás.

Ugyanis a sebesség az EGYSÉGNYI idő alatt megtett út. Tehát csak másodperccel kellene itt osztani. Tulajdonképpen arról van szó, hogy a 6:2 arányt kell úgy kifejezni, hogy az egy x:1 aránnyá váljon. Nyilván osztani kell. Tehát korrektebb lenne valójában így felírni:

v = ((6 / 2) * m) / s

És még ez is sántít. Az lenne a korrekt, ha a sebességre egy teljesen más mértékegységet választanánk. Hogy nem kell, az a fizikai jelenségek összefüggéseiből következik. Itt az értelmezést már nem lehet megúszni némi absztrakció nélkül.

De kétségtelen, hogy simán kezeljük úgy a mértékegységeket, mint valamiféle olyan számhoz hasonló entitásokat, amikkel műveleteket lehet végezni:

(m/s)/s = m/s²

És ha a mérőszám és mértékegység relációjára úgy tekintünk, mint szorzásra, akkor nyer csak értelmet a dolog, úgy mindjárt értelmet nyer az, hogy a kommutativitás, asszociativitás és egyéb sajátosságok összefüggései alapján alakítjuk a kifejezésünket:

v = 6 m / 2 s = 6 * m / (2 * s) = 6 * m / 2 / s = 6 / 2 * m / s = (6 / 2) * (m / s)

~ ~ ~

Aztán vannak nekünk fizikai összefüggéseink. Pl. a gravitációs erő nagysága egyenesen arányos az egyik tömeg nagyságával, a másik tömeg nagyságával, meg fordítottan arányos a távolságuk négyzetével. Oké, csak ez még egy arány, ahhoz, hogy képlet, egyenlőség legyen, ahhoz kell még egy konstans. Hogy annak a mennyisége mennyi? Ki kell mérni, de nem is ez az érdekes kérdés a mi vizsgálódásunk szempontjából, hanem az, hogy mi ennek a konstansnak a mértékegysége. És itt sem csinálunk mást, mint mérőszám nélküli mértékegységekkel végzünk műveletet.

Az erő mértékegysége: kg * m / s²

Az arányosságból fakadó rész – m₁* m₂ / r² – mértékegysége kg² / m²

Akkor ha van egy képletünk:

F = G * m₁* m₂ / r²

Akkor:

G = F * r² / (m₁* m₂)

Tehát a mértékegység ez lesz:

N * m² / kg² = kg * m / s² * m² / kg² = m³ / kg / s²

Pontosan úgy végzünk műveleteket a mérőszám nélküli mértékegységekkel, mintha valamiféle szám jellegű fogalmak lennének: átcsoportosítunk, összevonunk, stb…