Hogyan lehet megoldani ezt a két feladatot? (matematika)

2. Felírtad a szorzatalakot: (p-1)*(p+1)*(p²+1)

És a prímtényezős szorzatot: 240 = 2⁴ * 3 * 5

5-ös oszthatóság: az 5-nél nagyobb prímszámok 5-ös maradéka 1;2;3;4, ez alapján nézzük az 5-tel való oszthatóságot;

-ha a maradék 1, akkor (p-1) osztható 5-tel,

-ha a maradék 2, akkor (p²+1) osztható 5-tel,

-ha a maradék 3, akkor (p²+1) osztható 5-tel,

-ha a maradék 4, akkor (p+1) osztható 5-tel.

Tehát 5-tel mindenképp osztható a szorzat.

3-mal oszthatóság: az 5-nél nagyobb prímszámok 3-as maradékai: 1;2

-ha a maradék 1, akkor (p-1) osztható 3-mal,

-ha a maradék 2, akkor (p+1) osztható 3-mal.

Végül azt kell belátni, hogy a szorzat 4-szer osztható 2-vel. Nyilvánvaló okokból az 5-nél nagyobb prímszámok 2-es maradéka 1. Ennél fogva a (p-1) és a (p+1) mindenképp osztható lesz 2-vel. Ha szerencsénk van, akkor a (p²+1) tényező 2-szer osztható lesz 2-vel. Legyen p=2k+1, ahol k valami egész szám, ekkor azt kapjuk:

(2k+1)²+1 = 4k²+4k+1+1 = 4k²+4k+2 = 2*(2k²+2k+1), ez viszont csak 1-szer osztható 2-vel, szóval nincs szerencsénk :(

Van viszont másban; a (p-1) és a (p+1) nem mások, mint két szomszédos páros szám, ezekről pedig tudjuk, hogy pontosan az egyikük osztható 4-gyel (0, 2, 4, 6, 8, 10, ..., bármelyik két szomszédosat veszed, mindig lesz köztük 4-gyel osztható), ezzel be tudtuk látni, hogy a szorzat biztosan osztható 4-szer a 2-vel.

Így tehát a p⁴-1 osztható 240-nel, ha p>5.

Az 1-es faladat nagyon trükkös, mivel csak p=2 és p=3-ra lesz igaz, ezeket pedig manuálisan lehet tesztelni;

p=2 esetén:

p²+p+1 = 2²+2+1 = 7, ami prím,

p²-p+1 = 2²-2+1 = 3, ami prím,

1+p+p²+p³+p⁴ = 1+2+2²+2³+2⁴ = 31, ami prím.

p=3 eetén:

p²+p+1 = 3²+3+1 = 13, ami prím,

p²-p+1 = 3²-3+1 = 7, ami prím,

1+p+p²+p³+p⁴ = 1+3+3²+3³+3⁴ = 121, ami négyzetszám; 121=11²

Ha p>3 prím, akkor a p²+p+1 és p²-p+1 közül valamelyik biztosan osztható lesz 3-mal úgy, hogy egyik sem lesz 3, tehát a kettő közül valamelyik biztosan nem lesz prím. Ennek a bizonyítása gondolom nem fog gondot okozni.