Hogy lehet a szögek szinuszát és koszinuszát kiszámolni?

https://www.youtube.com/watch?v=eDNjVGtWXwc

Google a barátod.

Bocs az előző vége valahogy eltűnt:

Pl. sok esetben azt szoktuk csinálni, hogy kis szögek esetén (hogy mennyire kicsi az az elvárt pontosságtól függ) sin alfa = alfa (ha a szög radiánban van mérve), a technikai rendszereknél általában ez elegendően pontos 0,3 radiánig (kb. 20).

Néhány nevezetes szög szinusza ismert, azt az ember fejből tudja ha nem levezeti kb. 1 perc alatt.

A sinusz esetén a 0 közepú Taylor polinom egészen jó értéket ad -pi/2 - pi/2 tartományban (szintén radiánban). Ebből már a szinusz alapvető összefüggései alapján a teljes periódusra könnyen számolható a szinusz értéke. Ha a szinusz megvan akkor a cosinusz már számolható a trigon. pit. tétel alapján cos alfa = négyzetgyök (1-szinusz négyzet alfa) összefüggés szerint, a tangens meg a sin alfa / cos alfa szerint már kiszámolható. A Taylor polinomhoz meg csak összeadni, kivonni, osztani és szorozni kell, az meg működik papiron.

Ha a gyökvonás nincs meg akkor négyzetgyök számolható úgy, hogy négyzetgyök(x)=x^1/2 hatvány szerint, ez logaritmálva ln(a^b)=b*ln(a) és az exp. függvénnyel e^(b*ln(a)) és mind az e^x mind az ln(x) könnyedén számolható szintén a Taylor polinommal. Meglepően kevés sortaggal már a technikai életben szükséges 4-6-8 jegy pontosság elérhető. (az ln(x) Taylor polinomja kicsit trükkös, de ott megint a logaritmus azonosságaival lehet játszadozni).

Egyébként a régebbi számítógépek és számológépek is ezekkel számoltak. Hogy a mostani lebegőpontos procik hogyan számolják ezeket nem tudom, nem néztem utánna. De egy 10-15 évvel ezelőtt a zsebszámológépek, meg sok számítógép biztosan így számolt.

sin(37°) esetén bemutatva egy lehetséges számítás:

Van Taylor-sor α radián esetében :

summa i=0 to ∞ ((((-1)^i))*(α^((2*i)+1)))/((2*i)+1)!)

Azaz : ((((-1)^0))*(α^((2*0)+1)))/((2*0)+1)!) + ((((-1)^1))*(α^((2*1)+1)))/((2*1)+1)!) + ((((-1)^2))*(α^((2*2)+1)))/((2*2)+1)!) + ...

Mivel fokban adtad meg, abból kiindulva hogy nincs meg az átváltási konstans szorzó sem radiánból fokba, ezért a π értékét is ki kell számolni valamilyen pontossággal. Ha meg van a kívánt pontossággal a konstans szorzó azaz π/180 adott numerikus pontossággal akkor ez a lépés kihagyható.

π kiszámítása a példámban 10^-15 hibahatár alatt :

Bailey-Borwein-Plouffe formula alapján:

(1/16^0) * (4/(8*0+1) - 2/(8*0+4) - 1/(8*0+5) - 1/(8*0+6) ) = 3.1333333333333333037274

(1/16^1) * (4/(8*1+1) - 2/(8*1+4) - 1/(8*1+5) - 1/(8*1+6) ) = 0.0080891330891330898850

(1/16^2) * (4/(8*2+1) - 2/(8*2+4) - 1/(8*2+5) - 1/(8*2+6) ) = 0.0001649239241151005838

(1/16^3) * (4/(8*3+1) - 2/(8*3+4) - 1/(8*3+5) - 1/(8*3+6) ) = 0.0000050672208538587852

(1/16^4) * (4/(8*4+1) - 2/(8*4+4) - 1/(8*4+5) - 1/(8*4+6) ) = 0.0000001878929009377200

(1/16^5) * (4/(8*5+1) - 2/(8*5+4) - 1/(8*5+5) - 1/(8*5+6) ) = 0.0000000077677512151774

(1/16^6) * (4/(8*6+1) - 2/(8*6+4) - 1/(8*6+5) - 1/(8*6+6) ) = 0.0000000003447932930509

(1/16^7) * (4/(8*7+1) - 2/(8*7+4) - 1/(8*7+5) - 1/(8*7+6) ) = 0.0000000000160918771555

(1/16^8) * (4/(8*8+1) - 2/(8*8+4) - 1/(8*8+5) - 1/(8*8+6) ) = 0.0000000000007795702954

(1/16^9) * (4/(8*9+1) - 2/(8*9+4) - 1/(8*9+5) - 1/(8*9+6) ) = 0.0000000000000388711526

(1/16^10) * (4/(8*10+1) - 2/(8*10+4) - 1/(8*10+5) - 1/(8*10+6) ) = 0.0000000000000019832254

(1/16^11) * (4/(8*11+1) - 2/(8*11+4) - 1/(8*11+5) - 1/(8*11+6) ) = 0.0000000000000001030971

Ezeket összeadva : 3.1415926535897931159980

A Taylor-sort számolva:

A formulának ez az inputja : 0.6457718232379019429601

(Azaz 37*π/180 közelítő értéke)

A példában 10 tagig számolom a Taylor-sort:

((((-1)^0))*(0.6457718232379019429601^((2*0)+1)))/((2*0)+1)!)=0.6457718232379019429601

((((-1)^1))*(0.6457718232379019429601^((2*1)+1)))/((2*1)+1)!)=-0.0448834285747378436415

((((-1)^2))*(0.6457718232379019429601^((2*2)+1)))/((2*2)+1)!)=0.0009358671692376293932

((((-1)^3))*(0.6457718232379019429601^((2*3)+1)))/((2*3)+1)!)=-0.0000092922974901361105

((((-1)^4))*(0.6457718232379019429601^((2*4)+1)))/((2*4)+1)!)=0.0000000538206318503426

((((-1)^5))*(0.6457718232379019429601^((2*5)+1)))/((2*5)+1)!)=-0.0000000002040395185962

((((-1)^6))*(0.6457718232379019429601^((2*6)+1)))/((2*6)+1)!)=0.0000000000005454411194

((((-1)^7))*(0.6457718232379019429601^((2*7)+1)))/((2*7)+1)!)=-0.0000000000000010831454

((((-1)^8))*(0.6457718232379019429601^((2*8)+1)))/((2*8)+1)!)=0.0000000000000000016606

((((-1)^9))*(0.6457718232379019429601^((2*9)+1)))/((2*9)+1)!)=-0.0000000000000000000020

Ezeket összegezve : 0.601815023152048262048978005477

Persze itt nem mindegyik tizedesjegy helyes értékű (mármint a már sokadik tizedes jegy már nem helyes). A pontosság attól függ hogy meddig számoltam a tagokat és hány tizedesjegy pontosságon számoltam az egyes tagokat. Ezt lehet jól belőni. Nem állítom hogy a példámban optimális a pontosság függvényében a tagonkénti tizedesjegyek száma azaz lehetséges hogy számolhattam volna kevesebb tizedesjeggyel is a pontosság szempontjából. Viszont tovább számolva a tagokat még kevés is lehet ennyi tizedesjegy a számított tagok függvényében.

Konkrétan kiszámolni valamilyen sorfejtéssel lehet, amit már megadtak.

Egy hegyesszög szinuszát/koszinuszát úgy tudod meghatározni könnyedén, hogy rajzolsz egy olyan derékszögű háromszöget, amelyik rendelkezik a kérdéses szöggel. Mivel a szögek túlnyomó része nem szerkeszthető meg körzővel és vonalzóval, ezért jobb híján marad a szögmérő használata. Ha ez megvan, akkor leméred a kapott háromszög oldalait, és a korábban tanult hányadosképzéssel kapod a szögfüggvényértékeket. Érdekesség, hogy annak idején ezt a módszert használták a táblázatok elkészítéséhez.

Persze ezzel pontos eredményt nem fogsz kapni, és sokat számít, hogy mennyire pontos az ábra és a mérés eredménye, de a semminél több.

Alapvetően a 0°;30°;45°;60°;90° szögek szögfüggvényértékeit „illik” fejből tudni, ezeket hívjuk nevezetes szögfüggvényértékeknek. Ha ezeket tudjuk, akkor bizonyos esetekben más szögek értékeit pontosan meg tudjuk harározni, csak a különféle addíciós képleteket kell tudnunk hozzájuk.

Például a sin(75°) pontos értéke így határozható meg a sin(x+y) = sin(x)*cos(y) + cos(x)*sin(y) addíciós képlet segítségével:

sin(75°) = sin(30°+45°) = sin(30°)*cos(45°) + cos(30°)*sin(45°), itt pedig nevezetes szögfüggvényértékekkel kell már csak számolnunk.

Hogy érted a vissza felé számolást? arc sin ? Egyrészt annak is van sorfejtett számítása /talán ott is Taylor polinom, erre már nem emlékszem irtózatosan régen volt, és én nem ezt a módszert használtam/.

Másik lehet egy bináris keresés vagy a SAR (Successive ApRoximáció fokozatos megközelítés) módszer szerint haladni. azaz a definició szerint "keressük azt a szöget aminek a szinusza pl. 0.6018 és elkezdesz próbálgatni. Ha már van két próbálkozásod ami közé esik pl. itt 0 és 45 fok közé esik akkor tudjuk, hogy sinusz 0 fok=0 és sin 45=0,7071 /négy jegyig/ akkor a lineáris közelítéssel 38,29 fokot kapjuk. Megnézed, hoggy a 38,29-nek mennyi a sinusza 0,6196 ez több mint amit keresünk. Ekkor megint a 0-38,29 szögtartományban keresed meg és így haladsz egészen addig ameddig megtalálod a kellő pontossággal.

Gondolom hogy a visszafele alatt az arcsin függvényt kell érteni.

Arra is van Taylor-sorfejtés.

Itt a matematikusok által is használt oldalon a zöld pipás válasz leírja egyik nagyon gyakori sorozattal kezdené, mint például a sin(x), e^x stb., majd a helyettesítést használná. ...

Végül kijön ez egy határozott integrálból amit sorfejt : [link]

Egyébként itt le van írva az arcsin Taylor-sora is : [link]