Egy végtelen számosságú halmazban nincs egy elemnek rákövetkezője akkor és csak akkor, ha minden két elem között van egy harmadik?

"minden két elem között van egy harmadik"

Ha megszámlálható végtelen, akkor két szomszédos elem között biztos nem lesz harmadik.

És ez hogy kapcsolódik a mondat első felében említett elemhez?

Ennek fuss neki még 1x mert értelmetlen a kérdésed. Az, hogy egy sorba rendezhető halmaz esetén van-e egy elemnek rákövetkező eleme, az nem attól függ, hogy két elem közt van-e harmadik, hanem attól, hogy van-e "utolsó eleme". Pl. amit írt az 1-es vegyük azokat a racionális számokat amelyekre igaz, hogy X>=0 és X<=1 ez egy végtelen számosságú halmaz, mert végtelen sok ilyen szám van. Az is igaz, hogy bármely két racionális szám között van egy harmadik. Mégis van egy elem ami után már nincs semmi, mert "elfogyott" a halmaz ez pedig az X=1 nincs nála nagyobb elem. Tehát rákövetkezője sem lehet. De ez független az előtte levő elemektől. És, hogy bármely két elem között van-e harmadik.

Tényleg nem megyen ez neked. Tanultál halmazelméletet? Hány éves vagy egyáltalán?

"nincs egy elemnek rákövetkezője"

"minden két elem között van egy harmadik"

Gyanús, hogy a kérdező konkrétan a kontinuum számosságú halmazokra gondol, ennek írta le két tulajdonságát. Egyrészt nem rendezhetők sorrendbe olyan értelemben, hogy egy elemnek nincs előző vagy rákövetkező párja. Valós számok esetén pl. az 1 után nem tudjuk, melyik valós szám jön. A másik kijelentés összefügg ezzel, tehát hogy bármely két elem között végtelen további elem van. De ahogy #3 is írta, nincs ilyen kapcsolat a két állítás között, könnyű megcáfolni. (Megfordítva talán..)