Ha van egy gömböm, akkor mekkora és mennyi golyókkal lehet kitölteni úgy, hogy a lehető legtöbb hely maradjon benne?

Mit nevezünk "kitöltésnek"? Hogy az adott méretű golyóból már nem tudunk többet a gömbbe helyezni?

Ebben az esetben a golyó átmérőjének a gömb átmérőjének felénél egy hajszállal kell nagyobbnak lennie. Vagy talán úgy egyszerűbb megfogalmazni, hogy a golyó átmérője a gömb sugaránál egy hajszállal legyen nagyobb. Pl. ha 1 méter átmérőjű a gömb, akkor a sugara 0.5m, a golyó pedig legyen akkor 0.51m átmérőjű, így ebből a golyóból már nem fér bele még egy a gömbbe. A gömb térfogata ekkor 0.524 m3, a golyóé pedig 0.0695 m3. A gömb térfogatának durván 13.3%-a foglalt, 86.7%-a üres.

17:35, már csak egy bizonyítás kéne, hogy tényleg ez a legrosszabb kitöltés. (Amúgy ha a golyó átmérője a gömb átmérőjének feléhez tart felülről, akkor miért nem 1/2^3, azaz 12,5% lesz a legrosszabb kitöltés imfimuma? Csak így hasonlóság alapazonosságok alapján gondolom…)

Amúgy érzésre én is ezt tippelném.

OFF:

> „ha meg milliónyi apró, mákszemnyi golyóval, akkor megint csak közel maximális lesz a helykihasználtság.”

Már amennyire a π*sqrt(2)/6 ≈ 74%-os helykihasználtság közel van a maximálishoz…

[link] enwp.org/Kepler_conjecture

Vegyünk még egy mérföldkövet. Van egy pont, ahol már három golyó fér el a gömbbe. Ha pontosan férnének bele és a gömb sugarát vesszük egységnek, akkor a golyók sugara 2*√3-3 ≈ 0,461016 lesz. Ha ennél egy hajszállal nagyobb golyókat választunk, akkor két golyó még belefér, de három már nem. Ekkor a helykihasználtság 19,999% lesz. Ez jobb helykihasználtság, mint a 0,5+ε sugarú golyó esetén, ahol a helykihasználtság csak 12,5%.

Ha jól számolom, akkor a negyedig golyó határvonalánál, mikor három golyó még befér, de egy negyedik már nem, ott a helykihasználtság 27,244%.

Most lehetne még számolgatni, egy idő után bele fogunk futni abba, hogy a gömbbe írt tetraédernek közel optimális helykihasználásához csak hozzáadódik a gömb többi része. Addig persze meg lehetne nézni pár lépést, de úgy érzetre nekem is ez gömb sugaránál épphogy nagyobb sugarú golyó tűnik a keresett legrosszabb helykihasználtság.