X (négyzeten) -Y (négyzeten) =56? X (négyzeten) *Y (négyzeten) =2025?

x=9

y=5

x^2*y^2=25*81=2025

x^2-y^2=81-25=56

X2, Y2 – az X, illetve az Y négyzetét jelöli

X2*Y2=2025

Gyököt vonsz (két megoldás)

X*Y=45 és X*Y=-45

Y-t kifejezed: X=45/Y, illetve X=-45/Y

Ezeket visszahelyettesítve az első egyenletbe, kapod:

X2-(2025/X2)=56

A négyzetre emelés miatt a X=-45/Y is ezt az egyenletet adja.

Ezt rendezed:

X4-56X2-2025=0

X2 helyett új változó: Z

Z2-56Z-2025=0

Másodfokú egyenlet képletével a két gyök: 81 és -25 (ami nem lehet négyzetszám), így marad a 81

Ebből két megoldás van X-re: 9 és -9.

Tehát a megoldás: (9,5), (-9,-5), (9, -5), (-9, 5) számpárok.

A feladat

x² - y² = 56

x²*y² = 2025

Az

x² = a

y² = b

helyettesítéssel

a - b = 56

a*b = 2025

Az elsőből

a = b + 56

a másodikba behelyettesítve

(b + 56)b = 2025

Nullára rendezve

b² + 56b - 2025 = 0

A két gyök

b1 = 25

b2 = -81

a második kiesik, marad

b = 25

vagyis

y² = 25

az első eredeti egyenletből

x² = y² + 56

vagyis

x² = 81

A megoldások

x = ±9

y = ±5

******

Egy egészen más gondolatmenet

Az eredeti első egyenletből is megoldható a feladat, mivel minden szám felírható két négyzetszám különbségeként

x² - y² = 56

A baloldalt felbontva

(x + y)(x - y) = 56

Ha a jobb oldalt két tényező (p, q) szorzataként írom fel, akkor

(x + y)(x - y) = p*q

így írható

x + y = p

x - y = q

A kettőt összeadva

2x = p + q

és

x = (p+ q)/2

Az elsőből kivonva a másodikat

2y = p - q

és

y = (p - q)/2

x és y akkor lesz egész szám, ha p és q is páros, tehát 56-t két páros szám szorzatára kell bontani

Mivel

56 = 2*2*2*7

ez csak úgy lehetséges, ha

p = 14 (2*7)

q = 4 (2*2)

Ezekkel

x = (14 + 4)/2

x = 9

=====

y = (14 - 4)/2

y = 5

====

A négyzetek miatt a negatív értékek is megoldások, ugyanúgy, mint az válaszoló helyesen írta.

Látható, hogy a második egyenlet is teljesül.

DeeDee

************