Hogyan kell logaritmust számítani? (az alapoktól kezdve)

Legyen ez az egyenlet: 4^x=16, ezt könnyen ki tudjuk számolni, az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt x=2, mivel 4^2=16. De mi van akkor, ha nem ilyen egyértelmű a megoldás? Legyen most az egyenlet 4^x=12, ezt már nem tudjuk olyan könnyen megoldani, mivel nem tudjuk, hogy a 4-et hányadik hatványra emelve kapunk 12-t. Ennek az egyenletnek a megoldását jelöljük így: log(4)12 (írásban a "log" mellé kis 4-est kellene írni, ejtsd: 4-es alapú logaritmus 12).

Definíció: az a^x=b alakú egyenlet megoldása log(a)b (a alapú logaritmus b).

Az eredeti egyenletet is megoldhatjuk logaritmussal, definíció szerint a megoldása x=log(4)16, de mivel tudjuk, hogy x=2, ezért log(4)16=2

Hogy ennek hogy lehet kiszámolni az értékét (ha nem egyértelmű), azt a későbbiekben fogom leírni, most dolgom van, el kell mennem :)

Na, itt vagyok :) Összegezve: a log(a)b alakú szám értékét úgy számolhatjuk ki, hogy felírjuk a definíció egyenletét: a^(log(a)b)=b, ezt az egyenletet megoldva, mintha (log(a)b) ismeretlen lenne, tudhatjuk meg az értékét. Az előző hozzászólásomból kimaradt, hogy az a mindig pozitív, de nem 1 (ezt a későbbiekben meglátjuk, hogy miért), b mindig pozitív.

A logaritmusnak vannak azonosságai:

1) Egy számból úgy csinálhatunk valahányadik alapú logaritmust, hogy a valahányadik számot az átírandó szám hatványára emeljük, majd ennek a számnak vesszük a valahányadik logaritmusát. Képlettel: a=log(x)(x^a) (persze a kikötéseket betartva)

2) Ha a logaritmusban a számot és az alapot megcseréljük, akkor az eredeti szám reciprokát kapjuk. Képlettel: log(a)b=1/(log(b)a)

3) Két, azonos alapú logaritmus összegénél az argumentumok összeszorozhatók. Képlettel: log(a)b+log(a)c=log(a)(b*c)

4) Két, azonos alapú logaritmus különbségénél az argumentumokat eloszthatók. Képlettel: log(a)b-log(a)c=log(a)(b/c)

5) Ha egy logaritmust valamilyen k értékkel szorzunk, akkor a logaritmus argumentumát k. hatványra emelhetjük. Képlettel: k*log(a)b=log(a)(b^k) (itt k értéke lehet tetszőleges).

Ha igényled hozzá a bizonyításokat, a későbbiekben megírom.

6) Ehhez fogok bizonyítást írni; ennek az azonosságnak a neve: áttérés más alapú logaritmusra. Képlettel: log(a)(b)=(log(z)b)/(log(z)a), tetszőleges z-re, feltéve, hogy a kikötésnek megfelel.

Bizonyítás: legyen az egyenletünk a^x=b. Definíció szerint tudjuk, hogy x=log(a)b. Oldjuk meg ezt az egyenletet másképp: vegyük mindkét oldal tetszőleges (z) alapú logaritmusát. Mivel a logaritmusfüggvény szigorúan monoton, ezért ezt megtehetjük anélkül, hogy hamisgyökök keletkeznének:

log(z)(a^x)=log(z)b /használjuk az 5)-ös azonosságot a bal oldalon

x*log(z)a=log(z)b /osszunk log(z)a-val (a nem lehet 1, később)

x=(log(z)b)/(log(z)a)

Mivel ugyanazt az egyenletet kétféleképpen oldottuk meg, ezért a két megoldásnak egyenlőnek kell lennie, vagyis log(a)b=(log(x)b)/(log(x)a)

Miért nem lehet az a egyenlő 1-gyel: az eredeti egyenlet: 1^x=b, vagyis tetszőleges x-re 1=b, vagyis ennek vagy nincs megoldása, vagy nincs egyértelmű megoldása.

Miért nem lehet az log(a)b alakú számban a értéke 1: vegyük példának ezt: log(1)7, ekkor felíva rá a definíciót 1^(log(1)7)=7, de tudjuk, hogy 1 tetszőleges valós hatványa 1, vagyis 1=7, ami persze nem igaz, tehát az ilyen alakú szám nem értelmezhető. Még egy lehetőség lenne a log(1)1 alakú szám, de ugyanígy felírva: 1^(log(1)1)=1, vagyis 1=1, de akkor mégis mennyi az értéke? Mivel akármennyi lehet, ezért ezt sem értelmezzük.

A matematikában két logaritmust különböztetünk meg kiemelt jelölésmóddal:

lg(x): ez a 10-es alapú logaritmus (amit egyébként log(10)x-nek jelölnénk)

ln(x): ez a természetes alapú logaritmus, aminek az alapja az Euler-szám, amit e-vel jelölünk, vagyis a log(e)x lenne az eredeti jelölésmód szerint (e irracionális, e=~2,72, definíció szerint e=lim(1+1/n)^n, ahol n a végtelenbe tart)

Az előző hozzászólásomban megígértem, hogy kiszámoljuk log(4)12 pontos értékét. Kedves matematikusok kiszámolták a 1-től 10-ig a számok 10-es alapú logaritmusát, amit Négyjegyű függvénytáblázatok, összefüggések és adatok (ISBN: 9631957039) című könyv 84-87. oldalán találsz meg. Írjuk át a számot 10-es alapú logaritmusra: log(4)12=(lg12)/(lg4)=(lg(6*2))/(lg4)=((lg6)+lg(2))/(lg4)=(0,7782+0,301)/0,6021=1,0792/0,6021=1,7924, ha van tudományos számológéped, és ezt beírod, hogy 4^1,7924, akkor 12 körüli értéket fogsz kapni.

Remélem tudtam segíteni :) Ha nem, akár írhatsz privátban is.