Légyszi valaki elmagyarázná, hogy a fenébe kel megoldani ezt a két matek feladatot?

1.) Ha minden tényező 7, akkor a szorzat nem lehet osztható 3-mal. Márpedig (mod 3) 9*1 + 8*2 + 7*3 + … + 1*9 = 0 + 1 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 1 + 0 = 0, tehát a jegyek összege osztható lesz 3-mal, így a szám is.

2.) (2013 + 1) + (2*2013 + 2) + … + (2012*2013 + 2012) = 1*2014 + 2*2014 + … + 2012*2014 = (1 + 2 + … + 2012)*2014 = 2012*2013*2014/2 = 4 078 507 092.

TROLL megoldás az 1.) feladatra, ha nem tetszik a tanárod képe:

Egy olyan szorzat, aminek minden tényezője 7, csak akkor lehet 45-jegyű, ha pontosan 53 tényezője van (indoklás később). Ekkor a szorzat értéke pontosan

616 873 509'628 062 366'290 756 156'815 389 726'793 178 407, ebben van 0 számjegy is, tehát nem kaphatunk a kérdésben szereplő számot.

A hiányzó indoklás: ha egy tényezőt elhagyunk a szorzatból, akkor a szám hetedét kapjuk, ami már csak 44 jegyű lesz, mivel az első számjegy 6-os, ha meg még egy tényezőt hozzáveszünk, akkor a szám 7-szeresét kapjuk, ami pedig nyilván 46 jegyű, mert már a kétszerese is az, szóval ez az egy ilyen szám van.

1.) feladatra a második megoldás à la zsebszámológép és logarléc (fv-tábla):

Megnézzük, hogy 7-nek hányadik hatványa lehet 45-jegyű:

10^44 (a legkisebb 45-jegyű szám) <= 7^n < 10^45 (a legkisebb 46-jegyű szám)

7-es alapú logaritmust véve

log[7](10^44) = 44*ln(10)/ln(7) kb. 52,06 <= n < 45*ln(10)/ln(7) kb. 53,25.

Mivel n egész, ezért nem lehet más, mint 53.

A továbbiakban moduló 100 számolunk:

7^53 = 7^(32+16+4+1) = 7^32*7^16*7^4*7,

mellékszámítások:

7^1 = 7,

7^2 = 7*7 = 49,

7^4 = 7^2*7^2 = 49*49 = 2401 = 1,

7^8 = 7^4*7^4 = 1*1 = 1,

7^16 = 1,

7^32 = 1.

Helyettesítve:

7^53 = 1*1*1*7 = 7.

Tehát az egyetlen 45-jegyű szám, ami előáll csupa 7-esek szorzataként 100-zal osztva 7 maradékot ad, tehát az utolsó előtti jegye 0. Viszont a kérdésben szereplő számnak nincs 0 számjegye, így nincs ilyen szám.