Valaki tud segíteni? 1 1 1 1 0 2es számrendszeri számot bontsd fel 10es számrendszer beli prímtényezők szorzatára.

bin 11110 = dec ?

0 * 1 +

1 * 2 +

1 * 4 +

1 * 8 +

1 * 16 = dec 30

30 prímtényezős felbontása pedig 2 * 3 * 5

Melyik részét nem tudtad magadtól?

bin = bináris, azaz kettes alapú számrendszer.

dec = decimális, azaz tízes alapú számrendszer.

Azt tudod egyáltalán, mi az a számrendszer?

A leggyakrabban használt számrendszereket a mai nap angol rövidítéssel jellemezzük, mivel informatikában ezek a leggyakrabban használtak. (nem akarok etimológiailag belemenni, hogy pontosan melyik nyelv használta először ezeket a szavakat)

bin (binary) - 2es számrendszer beli szám

oct (octal) - 8as számrendszer beli szám

dec (decimal) - 10es számrendszer beli szám

hex (haxadecimal) - 16os számrendszer beli szám

A bináris vagy kettes számrendszer a számítástechnikában rendkívül nagy jelentőséggel bír, mivel a kettes számrendszer számai (ellentétben más pl.:10-es számrendszerrel) biztosan ábrázolhatóak elektronikus jelekkel.

- = Tízes számrendszer = -

A bináris számok megértéséhez vizsgáljuk meg a matematikában használt 10-es számrendszert. A számok számjegyekből állnak. Ezek a számjegyeknek a tizedesponttól való elhelyezkedésüktől függően helyiértékük van. Ezek: 1, 10, 100, 1000, 10000 ...

Ha megvizsgáljuk ezeket a számokat, akkor arra jutunk, hogy ezek a 10 egész számú hatványai, tehát: 10^0, 10^1, 10^2, 10^3, 10^4 ..

* Első szabály tehát: a helyiértékek a számrendszer alapszámának (dec: 10, bin: 2, ...) egész számú hatványai.

* Második szabály: Egy adott helyiértéken mindig áll egy szám. Ez a számjegy azt mutatja meg, hogy az ábrázolt szám előállításához hányszor kell vennünk az adott helyiértékből.

Például: a 234 azt jelent, hogy 2*10^2 + 3*10^1 + 4*10^0 = 2*100 + 3*10 + 4*1 = 234

* Harmadik szabály: Egy helyiértéken leírható különböző értékek számossága a számrendszer alapszámával egyezik meg, vagyis 10-es számrendszerben: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (ez 10 db szám), kettes számrendszerben: 0, 1 (ez 2 db szám)

* Negyedik szabály: n darab helyiértéken ábrázolt szám maximális értéke: "alapszám^n - 1", vagyis 10-es számrendszerben 3 számjegyen: 10^3 - 1 = 999, az egymástól különböző értékek száma pedig alapszám^n, vagyis 1000 (mivel a 0 is egy szám).

- = A bináris számrendszer = -

* A fentiekből a bináris v. kettes számrendszer - amelynek alapszáma a kettő - a következő helyiértékekkel rendelkezik: 2^0, 2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5, 2^6 ezek sorra az 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 ...

* Az egy helyiértéken ábrázolható különböző értékek száma 2 (0, 1).

* A példában szereplő 3 értéken ábrázolható maximális szám a 2^3 - 1 = 7, az egymástól különböző értékek száma pedig 2^3, vagyis 8.

Az ilyen számok számjegyei kétállapotúak, ezért elektronikus áramkörökkel jól megjeleníthetőek (a helyiértékeknek vezetékeket megfeleltetve a számjegyeket a feszültség tárolja: 3-5 Volt feszültség: a számjegy 1 értékű. Ha 0-3 Volt feszültség van, akkor a számjegy 0 értékű. Az ilyen jelekkel dolgozó áramköröket digitális áramköröknek nevezzük)

- = Átváltás 2-esből 10-esbe = -

A szám fölé a helyiértékeket kiírod és összeszorzod a hozzájuk tartozó számjegyekkel, majd ezeket összeadod:

azaz 16 8 4 2 1

2^n : 4 3 2 1 0

bin : 1 1 0 0 1

bin 11001 = dec: 1*16 + 1*8 + 0*4 + 0*2 + 1*1 = 25

- = Átváltás 10-esből kettesbe = -

1) Írjuk fel a számot egy függőleges vonal bal oldalára

2) Ha a szám páratan, írjunk mellé a vonal túloldalára egyet, alá a számnál egyel kisebb páros szám felét

3) Ha a szám páros, írjunk mellé a vonal túloldalára nullát, alá pedig a szám felét

4) Ismételjük meg az előző két lépést a legalsó baloldali számmal mindaddig, amíg az nullává nem válik (tovább nincs értelme, mert mindig nulla marad)

5) Ezután alulról felfelé haladva a jobboldali számjegyeket írjuk egymás mellé balról jobbra haladva. A kapott szám a kettes számrendszerbeli alakja a legelőször felírt számnak.

Az alábbiakban néhány példa látható a számolás elvégzésére:

dec: 37

37 | 1 // osztom kettővel, marad az 1

18 | 0 // osztom kettővel, marad az 0

9 | 1 ...

4 | 0

2 | 0

1 | 1

0

eredmény: 100101

dec: 173

173 | 1

86 | 0

43 | 1

21 | 1

10 | 0

_5 | 1

_2 | 0

1 | 1

0

lentről felfele kiolvasva:

dec 173 = bin 10101101

- = Átváltás n-esből 10-esbe = -

Jelölje a számrendszerünk alapján 'n', ezután hasonlóan járunk el, mint a kettes számrendszerbe való átváltáskor:

1) Írjuk fel a számot egy függőleges vonal bal oldalára

2) Ha a szám maradékosan osztható az alapszámmal, írjunk mellé a vonal túloldalára a maradékot, alá a számnál maradékkal kisebb szám n-ed részét.

3) Ha a szám maradék nélkül osztható az alapszámmal, írjunk mellé a vonal túloldalára nullát, alá a számnál maradékkal kisebb szám n-ed részét.

4) Ismételjük meg az előző két lépést a legalsó baloldali számmal mindaddig, amíg az nullává nem válik (tovább nincs értelme, mert mindig nulla marad)

5) Ezután alulról felfelé haladva a jobboldali számjegyeket írjuk egymás mellé balról jobbra haladva. A kapott szám a n-es számrendszerbeli alakja a legelőször felírt számnak.

- = Átváltás 2-esből 8-osba = -

A lekisebb helyiértéktől kiindulva hármas csoportosítjuk a 2es számrendszer beli számot és átváltjuk 8osba. (Ez talán még megy fejben is.)

1 | 011 | 101 | 001 | 111 | 111

1 | _3_ | _5_ | _1_ | _7_ | _7_

bin 1011101001111111 = oct 135177

- = Átváltás 2-esből 16-osba = -

A lekisebb helyiértéktől kiindulva négyesével csoportosítjuk a 2es számrendszer beli számot és átváltjuk 16osba. (Ez talán még megy fejben is.)

1011 | 1010 | 0111 | 1111

_13_ | _10_ | __7_ | _15_

__B__ __A__ __7__ __F__

bin 1011101001111111 = hex BA7F

Gyakorolj néhány átváltást és ellenőrizd számológéppel!

Windowsos számológép is tudja ezeket.

ALT + 3 -> átvált számrendszer átváltós módba

F5 -> Hexadecimálisba (16) vált

F6 -> Decimálisba (10) vált

F7 -> Oktálisba (8) vált

F8 -> Binárisba (2) vált

Tehát ALT + 3 -> F6 -> beírod a decimális számot -> F8: kiírja binárisan (kettes számrendszerben).

Még annyi a 16os számrendszerhez, hogy 9 után elfogynak a számok, és onnantól az ABC betűivel jelzik a számokat.

A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15