Ez miért lesz páratlan db tükrözés?

Elég egy dimenzióban gondolkodni, mivel az egyes koordináták egymástól függetlenül tükröződnek, tehát ha 1 dimenzióra bizonyítjuk, akkor akárhányra igaz lesz.

Tehát vegyél fel egy egyenesen n db pontot, amiknek a koordinátáit jelöld x1, x2..., xn-nel. Az A pont koordinátja legyen a.

Készítsd el sorban a tükörképek koordinátáit, tehát pl. O1A = 2x1-a, O2O1A=2(X2-X1)+a, stb. Ebből általánosíts On-re, majd ismételd meg a tükrözést. A lényeg, hogy a végén fel legyen írva a végeredmény koordinátája az x1, x2,...xn és "a" változók függvényében.

Ez egy csúnya szummás képlet lesz, benne néhány (-1)^i típusú hatvánnyal, de a lényeg, hogy látszani fog belőle, hogy ha n páratlan, akkor a két szummás tag kiejti egymást, és a végeredmény "a" lesz (vagyis az eredeti pont). Ha viszont páros, akkor a 2 szummás tag nem esik ki, és a végeredmény bárhol lehet.

ha gondot okoz a (-1) típusú hatványok és szummák használata, akkor írd fel tagonként az egészet 1-től n-ig két esetre: páratlan és páros n-re. Így is ki lehet mutatni róluk, hogy páratlan n esetén minden x kiejti egymást, míg párosnál nem.

Lehet, hogy van egyszerűbb módszer is, de ez sem olyan bonyolult.