Hogyan lehetne ezt megoldani?

A következő az ötletem:

Először is meghatározom az AB szakasz és a szögfelező egyenes metszéspontját. Ez legyen D

Aztán kiszámítom az Ad és BD szakaszok hosszát.

A szögfelezőtétel kimondja, hogy ezeknek a szakaszoknak az aránya egyenlő az AC és BC oldal arányával.

Felveszek egy futópontot az egyenesen, aminek a koordinátái: (x,x+2). Ez lesz a C pont.

Ezzel felírom az AC és BC szakaszok hosszát.

Aztán felírom a szögfelezőtételt, azaz: AD/BD=AC/BC.

Ez elvileg egy másodfokú egyenlet lesz x-re, ami könnyen megoldható. A kapott x-et beírom az egyenes egyenletébe, és megvan y is.

C(4/3;10/3)

Megkeresed AB és a szögfelező metszéspontját, (26/7;40/7)

és megállapítod, hogy milyen arányban osztja AB-t. (2:5)

Ezután felveszel egy X pontot, innen A-ba és B-be a távolságok ugyanilyen arányúak.

[link]

x=26/7 nem megoldás, AB-n van, a metszéspont.

Egyértelmű, hogy melyik szöghöz tartozik a szögfelező, mivel a szögfelező átmegy a szöghöz tartozó csúcson. Írjuk be a koordinátákat az egyenletbe;

A ponttal: 6=2+2, ez nem igaz, tehát nem az A-hoz tartozik.

B ponttal: 5=8+2, ez sem jó, tehát kizárásos alapon az ismeretlen csúcshoz tartozik a szögfelező.

Mivel a csúcs rajta van az y=x+2 egyenesen, ezért a pontról elmondhatjuk, hogy (x;y)=(x;x+2) alakúak a koordinátái. Mivel szögfelezőről van szó, ezért el kell érnünk, hogy valamilyen formában tudjuk használni a szögfelezőtételt (más út is van a megoldáshoz, én most ezt választom). Ehhez szükség van a háromszög két oldalának hosszára, amelyeket nem metsz a szögfelező, valamint a harmadik oldal osztott részeinek hosszára. x függvényében meg tudjuk adni a két oldal hosszát:

|AC|=gyök((x-2)^2+(x+2-6)^2)=gyök((x-2)^2+(x-4)^2)

|BC|=gyök((x-8)^2+(x+2-5)^2)=gyök((x-8)^2+(x-3)^2)

Most felírjuk az AB szakaszra fektethető egyenes egyenletét: AB->(6;-1), ebből egy normálvektor n(1;6), tehát az egyenes egyenlete: x+6y=2+6*6=38, vagyis x+6y=38. Kiszámoljuk a két egyenes metszéspontját:

x+6y=38 }

y=x+2 }, beírjuk y helyére az x+2-t:

x+6*(x+2)=38

7x+12=38

7x=26

x=26/7, ebből y=x+2=26/7+2=40/7, tehát a két egyenes metszéspontja P(26/7;40/7). Most számoljuk ki az A és P, valamint a B és P pontok távolságát:

|AP|=gyök((26/7-2)^2+(40/7-6)^2)=gyök(148)/7

|BP|=gyök((26/7-8)^2+(40/7-5)^2)=gyök(925)/7

Ezek tudatában felírhatjuk a szögfelezőtételt:

|CA|/|AP|=|CB|/|BP|

gyök((x-2)^2+(x-4)^2)/(gyök(148)/7)=gyök((x-8)^2+(x-3)^2)/(gyök(925)/7)

Ebből eltűnik a 7-es, majd négyzetre emelés után kapjuk, hogy

((x-2)^2+(x-4)^2)/148=((x-8)^2+(x-3)^2)/925, ezzel nyertünk egy egyismeretlenes másodfokú egyenletet. Gondolom nem jelent nagy kihívást ennek megoldása (bár ezt talán könnyű elszámolni), én maradok most annál, hogy használom a WolframAlphát:

[link]

Ezek szerint az egyenletnek 2 megoldása van: x1=4/3, ebből y1=(x1)+2=4/3+2=10/3, tehát az egyik lehetőség koordinátái C1(4/3;10/3), x2=26/7, erre y2=(x2)+2=(40)/7 adódik, ezzel visszakaptuk az oldal osztópontjának koordinátáit (ez triviális megoldás, mivel ha ezt a pontot vesszük, akkor |AC|=|AP| és |BC|=|BP|, ekkor azt az egyenletet kapjuk, hogy |AC|/|AC|=|BC|/|BC|, ez pedig triviálisan 1=1), tehát ezzel nem kell nagyon foglalkoznunk.

Tehát a keresett pont koordinátái: C(4/3;10/3), az ellenőrzést innen már rád bízom.