Hasonlítsuk össze az alábbi két számot: sqrt (2) és log2 (3). Segítene valaki?

A két értéke kb. mi is be tudjuk lőni;

sqrt(2)=~1,41, ezt alulról-felülről való becsülgetéssel tudjuk kisakkozni.

Nézzük meg, hogy 2^(1,5) értéke mennyi:

=2^(3/2)=8^(1/2)=sqrt(8), ez biztos, hogy kisebb, mint 3=sqrt(9), emiatt log(2)[3] értéke biztos, hogy több, mint 1,5.

Ezek alapján biztos, hogy sqrt(2)<log(2)[3].

sqrt(2) <=> log2(3) ; mindkettő poz., 1-nél nagyobb, emeljük 6. hatványra mindkét oldalt

(2^(1/2))^6 = 2^3 = 8, ill. 3 * log2(9) > 3*3

tehát a jobb oldal, a log2(3) nagyobb

Elnézést, #5-ben hülyeséget írtam, valóban azt kell belátni, hogy 3/2-nél kisebb ill. nagyobb.

sqrt(2) < 3/2 mert (3/2)^2 = 9/4 > 2 és

log2(3) > 3/2 mert log2(8)=3, log2(9)>3, log2(3) > 3/2

A következő eléggé közismert egyenlőtlenségből érdemes elindulni:

8 < 9 , azaz:

2³ < 3² (a)

(a) mindkét oldalból négyzetgyököt vonva:

2√2 < 3 (b)

(a) mindkét oldalának 2-es alapú logaritmusát véve:

3 < log₂ 3² →

3 < 2 log₂3 (c)

(b) és (c) összevetéséből már következik a megoldás.

Felhasználtuk, hogy a négyzetgyökvonás és a 2-es alapú logaritmus is szigorúan növekvő.