Ennek a hatványhalmaznak : P (P (∅) ) ez a megoldása? {∅, {∅}, {∅}, {∅, ∅}} Ha nem akkor mi a megoldása?

Először is, P(∅) = {∅}. [link]

Ez már nem üres halmaz, hanem egy olyan halmaz, aminek VAN egy eleme. Mégpedig egy másik halmaz, ami éppenséggel üres, de ez nem számít, hiszen a következő hatványhalmazban már nem nézünk bele az egyes elemekbe, csak kombináljuk őket. Gyakorlatilag {a}-nak is jelölhetnéd innentől. P(∅) egy egyelemű halmaz. Aminek a hatványhalmaza tudjuk, hogy 2 elemet fog tartalmazni.

Így tehát nem meglepő:

P({∅}) = {∅, {∅}}. Az első elem a halmaz nulla elemű részhalmazait jelöli, a második pedig az 1 elemű részhalmazokat, amiből 1 van, mégpedig az üres halmazt tartalmazó halmaz.

Még egy megjegyzés. Amit te megoldásként javasoltál, az valójában helyes, csak borzasztóan van jelölve, és rossz gondolatmenetre utal.

Ha egy halmazban kétszer jelölöd ugyanazt az elemet, az felesleges, semmi értelme kétszer leírni. Ha kiszórjuk a duplán jelölt elemeidet, akkor szépen, lépésenként:

{∅, {∅}, {∅}, {∅, ∅}}

{∅, {∅}, {∅, ∅}}

{∅, {∅}, {∅}}

{∅, {∅}} -- ami a helyes megoldás.