A 480 pozitív osztóinak összege 1512. Mennyi a 480 pozitív osztói reciprokának összege?

numerikusan megoldva: 3.15

0001; 00001; 1.0000

0002; 00003; 1.5000

0003; 00006; 1.8333

0004; 00010; 2.0833

0005; 00015; 2.2833

0006; 00021; 2.4500

0008; 00029; 2.5750

0010; 00039; 2.6750

0012; 00051; 2.7583

0015; 00066; 2.8250

0016; 00082; 2.8875

0020; 00102; 2.9375

0024; 00126; 2.9792

0030; 00156; 3.0125

0032; 00188; 3.0437

0040; 00228; 3.0687

0048; 00276; 3.0896

0060; 00336; 3.1062

0080; 00416; 3.1187

0096; 00512; 3.1292

0120; 00632; 3.1375

0160; 00792; 3.1437

0240; 01032; 3.1479

0480; 01512; 3.1500

sum; : 1512

1/sum: 3.15

Lehet van rá zárt formula is.

3.15 = 1512/480

Meglepő?

Mindjárt levezetem:

Tekintve, hogy az osztói szimmetrikusak és jelen esetben párosak is. (amit a prímfelbontásból meg lehet határozni hogy mennyi szorzója van).

480/1 = 480

480/2 = 240

...

480/20 = 24

Így gyakorlatilag, amikor az osztó reciprokát megszorzom 480-al, mindig az osztó szimmetrikus párját kapom meg.

1/2 * 480 = 240

...

1/20 * 480 = 24

Tehát, ha az osztóinak reciprokok 480szorosát adom össze, akkor megkapom az osztóinak az összegét.

Páratlan osztójúak (négyzetszámok) esetén is működik, hiszen ott a középső osztó szintén saját maga.

:)

Béke és Térerő!

Teljes levezetés, mondhatni: "dedós" módszer:

Osztók meghatározása az osztás szabályainak figyelembe-

vételével: 1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,16,20,24,30,32,40,48,60,80,96,

120,160,240,480. 24 db szorzó. (mivel a "dedósok" nem ismerik a prímtényezős felbontást)

Ellenőrzés: az összegük valóban 1512.

Képezzük az osztók reciprokait, de már bővítsük is a törteket úgy, hogy a nevező mindig 480 legyen, mint közös nevező: (pl. 1/3->160/480)

480/480,240/480,160/480,120/480,96/480,...,1/480.

Vegyük észre, hogy a számlálóban levő számok is az eredeti osztókat adják ki,csak fordított sorrendben, ezeket összeadva is 1512 jön ki. Összegük tehát: 1512/480.

Ez pedig: 3,15. (Amit egyből lehetett tudni, de levezetve válik érthetővé.)

Csak formailag más a megoldásom, a lényeget már leírták előttem.

Legyen

N az a szám, melynek ismerjük pozitív osztóinak összegét

Ha egy osztó

pi

akkor a komplementer osztópárja

N/pi

A normál osztók összege

******************************

Az i-ik osztópár összege

Sni = pi + N/pi

Összevonva

Sni = (pi² + N)/pi

Ezeknek a pároknak az összege

*** d/2

Sn = Σ (pi² + N)/pi

*** i=1

Az osztók reciprokának összege

**************************************

Emlékeztetőül az i-ik osztópár

pi és N/pi

a reciprokaik

1/pi és pi/N

Ezek összege

Sri = 1/pi + pi/N

öszevonva

Sri = (pi² + N)/(pi*N)

Az 1/N-t ki lehet emelni

Sri = (1/N)[(pi² + N)/(pi]

A párok összege

****** d/2

Sr = (1/N) Σ (pi² + N)/pi

****** i=1

Az összegzendő mennyiség nem más, mint a normál osztók összege, így

Sr = (1/N)*Sn

ill

Sr = Sn/N

========

Remélem, nem csúszik össze a szöveg ebben a nyüves szerkesztőben. :-)