Az irracionális számok között miért nincs legkisebb?

A "kisebb" és "nagyobb" fogalmát az teszi lehetővé, hogy képesek vagyunk sorba rakni a dolgokat, mert van egy mércénk, mértékegységünk, ami szerint rendezünk.

Az irracionális számok nem rendezhetők. Ezért nincs mérce, tehát sorrend se, tehát legkisebb se.

Egyrészt mert kihagytad a kérdésből, hogy „pozitív”. Bármilyen nagy abszolútértékű negatív szám elképzelhető, még az egészek között is.

Másrészt mert egy irracionális szám reciproka is irracionális, és tetszőlegesen nagy irracionális számok léteznek. Minél nagyobb egy (pozitív) szám, annál kisebb a reciproka, és mivel minden A pozitív irracionális számnál létezik nagyobb, annak reciprokánál, 1/A-nál is lesznek kisebb abszolútértékű irracionális számok.

Nagyon egyszerű belátni; tegyük fel, hogy az A szám a legkisebb pozitív irracionális szám, ekkor osszuk el egy tetszőleges 1-nél nagyobb pozitív egész számmal, például a 2-vel, ekkor az A/2 számot kapjuk, ez értelemszerűen kisebb, mint A. Ha A/2 irracionális, akkor máris megbukott a feltevés, hogy A lenne a legkisebb irracionális szám.

Tegyük fel, hogy A/2 mégis racionális, értéke legyen B, tehát A/2=B. Szorozzunk 2-vel: A=2*B. A bal oldalon A marad, ami definíció szerint irracionális, a jobb oldalon két racionális szám szorzata van, ami értelemszerűen nem lehet irracionális. Tehát A/2 kénytelen irracionális lenni.

Hasonló módon az is belátható, hogy nincs legkisebb pozitív racionális szám.