Hogyan lehet bebizonyítani, azt hogy (n! +1, (n+1)! +1) = 1?

Az Euklideszi-algoritmus miatt:

(n! +1, (n+1)! +1) = (n! +1, (n+1)! +1 - (n! +1)) = (n! +1,(n+1)*n! +1 - n! - 1) = (n! + 1, (n+1)*n! - n!) =

(n! + 1, n*n!)

Ha pedig egy szám osztja, az n*n!-t, akkor n!-t is osztja! A másik oldalt viszont n!+ 1 van, ezért relatív prímek.

Ebben a felállásban sehogy, mivel nem igaz; ha n=0, akkor (2;2)=2 és nem 1, tehát az állítás nem igaz.

Ha n pozitív egész, akkor lásd fent, de van egyszerűbb megoldás is; tudjuk, hogy ha két szám ugyanabba a maradékosztályba tartozik, akkor összegük/különbségük is ugyanabba fog tartozni. Vonjuk ki egymásból a két számot (értelemszerűen a nagyobból a kisebbet, bár oszthatóság szempontjából az előjel lényegtelen):

(n+1)!+1 - (n!+1) = (n+1)!-n!, itt ki tudunk emelni n!-t, így n!*(n+1-1) = n!*n számot kapjuk. Ennek 1-től n-ig minden szám osztója, tehát ha a fentieknek van 1-től különböző osztója, akkor ennek osztói között megtaláljuk, már pedig azt nem nehéz észrevenni, hogy az n!+1 nem osztható 2-től n-ig egyik számmal sem (mivel 1 maradékot adnak), tehát csak az 1 lehet közös osztó, és ezt kellett belátni.