Miért élveznek nagyobb figyelmet a differenciálok, mint a differenciák?

A differencia csak akkor érdekes, ha okunk van feltételezni, hogy jól közelíti a differenciált. Különben csak egy függvényen két random pont közti különbség, és nem mond semmit a függvény menetéről aközött a két pont között.

Egyébként használunk differenciát a gyakorlatban. Amikor van egy méréssorozatod, és az egymás melletti értékeket vonogatod ki egymásból. De annak azért van haszna, mert azt feltételezed, hogy a méréssorozatod mentén a differencia értékekkel a differenciált közelíted.

"Mint az látszik, a differenciákhoz nem szükséges az infinitezimálisan kicsiny dx-ek, df(x)-ek bevezetése."

Senkit se zavar az infinitezimális dx-ek bevezetése egyetemi szinten. Úgyhogy ez nem előny.

A differenciálnál pont az a pláne, hogy az infinitezimális távolság miatt tulajdonképpen egy pontra tudunk egy olyan tulajdonságot értelmezhetővé tenni, ami alapvetően egy egyenes tulajdonsága. A differenciál ezért minden függvényt bizonyos szempontból egyformán jellemez.

A differenciánál az egységnyi távolság meg eléggé önkényes. Bizonyos esetben lehet érdekes ez is, de csak speciális esetben. Bizonyos esetben, meg abszolút nem mond el a függvényről semmit. Pl. a f(x)=sin(x*π) esetén az f(x+1)+f(x) minden x-re 0-át ad. De úgy általában minden

f(x) = a + b*p(x)^c

függvény, ahol p periódusa 1/n, illetve az ilyen függvények bármilyen szorzatai, összegei is.

Pl. egy függvény lokális minimumát, maximumát a differenciállal meg lehet kapni, hiszen ott a differenciál nulla lesz. A differencia ilyenre nem, illetve nagyon speciális esetben lenne alkalmas. Meg ezen kívül van egy raklap dolog, ahol a differenciál jól használható, a differencia meg általában nem.

Sem a differenciálokat, sem a differenciákat nem sikerült eltalálnod.

Azért élveznek "nagyobb figyelmet", mert amikor fel lettek fedezve, akkor az anyagot folytonosnak, kontinuumnak gondolták, és, a kísérletekkel is egyezett ez a feltevés. Nyilván ha az atomok felfedezése után alakul ki a kalkulus, akkor ma a gömb térfogatképletében ott lenne az atomok közötti távolság is, mint paraméter.

Kis olvasnivaló aki erre jár:

[link]

(A "The approximation of derivatives by finite differences" rész hülyeség, az idealizált differenciálhányadosok közelítik a való életben létező differenciahányadosokat, és nem fordítva.)

Azóta felfedezték kvantummechanikát, mégis maradtak a differenciálok. Azon egyszerű oknál fogva, mert más fogalmat takarnak, mint a differenciák.

Egy "kicsike" eltérés a sok közül: a differenciálok (sőt, deriváltak) hasonló viselkedésűek, mint a függvények, azonos módon kezelhetők, ezért egy egységes szerkezetű, viszonylag könnyen kezelhető és átlátható rendszert alkotnak. Ezáltal lehetőség van a lényeges tulajdonságokra fókuszálni. A differenciák - azon túl hogy más a jelentésük - lényegesen bonyolultabbak és formálisan nem rendszerezhetők.

De persze vannak ennél lényegesebb, fizikai, kémiai, geometriai jelentésbeli eltérések is.