Milyen szorzást lehetne definiálni a mátrix dimenziójú mátrixokra?

Az a baj ezzel, hogy vektorok dimenziójáról beszélni nem sok értelme van, főleg nem ilyen formában.

Általában mikor vektorokról beszélünk, akkor vektorterek dimenzóját értelmezzük.

Persze, lehetne mondani, hogy akkor vektor dimenziója legyen az őt tartalmazó vektortér dimenziója. Pl ( 1 2 3) eleme R^3 (vektortér R felett) és mivel R^3 3 dimenziós, ezért ( 1 2 3 ) egy 3 dimenziós vektor.

Na de! Mivel a matematika a precízségről szól, ezért kérdezem a következőt:

Mi lesz az (1 1 0) vektor dimenziója? 3? Tény, hogy eleme R^3-nak, de nem csak ez a vektortér tartalmazza, hanem R^3-nak létezik olyan 2 dimenziós altere, ami szintén tartalmazza, azaz az (1 0 0) vektort tartalmazza több, különböző dimenziós vektortér...Akkor ennek a vektornak mi lesz a dimenziója?

"Mi a helyzet azokkal a mátrixokkal, melynek dimenzióit nem tudjuk vektorokkal leírni, de más (téglalap)mátrixokkal igen?"

Számomra nem világos, hogy ez alatt mit értesz. A szokásos mátrixokat és vektorokat először dediniáljuk (például mint rendezett szám n-esek és mint szám n*k-asok), és ezután mondjuk meg, hogy a mátrix dimenziója alatt mit értunk.

Lehet, hogy van a mátrixoknak olyan általánosítása , amelyeknél a mátrix dimenzióját más mátrixként érdemes értelmezni (én nem ismerek ilyet, de ez nem jelent semmit). De ha van is ilyen, akkor először azt kéne tisztázni, hogy pontosan mi ez a struktúra, és pontosan hogyan értelmezhető rajta a dimenzió. Ezután lehet arról beszélni,hogy hogyan érdemes szorzást definiálni rajtuk.

(Egyébként a téglalapmátrixok is fölfoghatók vektorként, csak ha így fogjuk fel őket, akkor kicsit kényelmetlen a szorzás definiálása, de elvi nehézség nincsen.)

"És milyen tisztességes nevet lehetne ezeknek adni?"

Egyelőre tehát nem tudjuk, hogy mi az, aminek nevet szeretnénk adni.