Miért beszélünk n dimenziós terekről?

A dimenziók eredetileg tényleg a térnél, a geometriánál jöttek elő. De a matematika egy jóval absztraktabb természetű dimenzió fogalmat használ. Egy „tér” annyi dimenziós, ahány független paraméter szükséges egy „pont” egyértelmű meghatározásához. De itt már nem feltétlenül geometriai értelemben vett térről és pontról van szó.

Most mondok egy példát. Tudjuk, hogy a kukorica terméshozama hogyan függ a talaj sótartalmától. Azt is tudjuk, hogy hogyan függ a foszfortartalmától. Azt is, hogy hogyan függ a talaj nitrogéntartalmától. Azt is, hogy hogyan függ a napi vízmennyiségtől. Azt is, hogy hogyan függ a hőmérséklettől. Ezek független paraméterek, mert a lehet bármilyen foszfortartalmú az a talaj ilyen, olyan, meg amolyan átlag hőmérséklet esetén is.

Ha a kukorica terméshozamát akarjuk meghatározni egy adott „pontban”, akkor az egy sokdimenziós koordináta-rendszerben található, ahol a fenti paraméterek egy-egy tengelyt jelentenek. Ha meg akarod határozni a kukorica optimális terméshozamát, akkor egy n dimenziós térben keresel egy maximumot. Ha egy terméshozam tartományt akarsz meghatározni, az meg egy n-dimenziós „test” lesz ebben az n-dimenziós térben.

A matematika mindig is absztrahált, elvonatkoztatott a valóságtól, és ezt terjesztette ki általánosítva. A matematika szempontjából egy szám az szám. Hogy most éppen távolságot, csapadékmennyiséget, vagy tetszési indexet reprezentál, az mindegy, pont attól alkalmazható széles körben egy-egy matematikai ág, mert ezektől független. Hasonlóan ahhoz, ahogy az összeadás művelet is független attól, hogy a szám az almáknak a számát, tortáknak a darabszámát, úthosszt, térfogatot, időtartamot, sebességet vagy hőmérsékletet reprezentál. A szám ettől szám, az összeadás meg egy művelet, ami vagy leírja a fizika által vizsgált összefüggést, és akkor használható, vagy nem írja le, és akkor erre nem jó.

A matematika soha nem arról szólt, hogy gyakorlati jelentősége legyen. Van persze ilyen oldala is, de nagyon sok matematikai eredmény jóval előbb született meg, mintsem gyakorlati jelentősége lett volna. Leibniz pl. kimondottan büszke volt arra, hogy olyan dolgokkal foglalkozik, aminek soha nem lesz gyakorlati jelentősége. Pl. foglalkozott a kettes számrendszerben való műveletvégzések sajátosságaival, meg prímszámokat érintő kérdésekkel is. Ma meg részben ezen alapul a számítógép, meg a titkosítás, kvázi a civilizációnk épül arra, amire Leinbiz korában még tényleg nem látszott a gyakorlati jelentősége. Vagy ilyenek voltak a nemeuklideszi geometriák. Minek vannak ezek, ha tudjuk, hogy a világunkat az euklideszi geometria írja le? Aztán kiderült, hogy mégsem, és mikor megszületett az általános relativitáselmélet, addigra már régen megvolt hozzá a matematikai apparátus.

> azzal kéne kezdeni, hogy egyáltalán mire jó az egész,

Némelyik semmire sem jó. És ez nem feltétlenül baj, sőt…

Nyilván egy egyetemen a matematika oktatásnak az egyik célja az, hogy a szakmádban használható matematikai eszköztárat adjon a kezedbe. De csak részben ez a célja. Én informatikus vagyok, és bár létezik olyan probléma, aminek a megoldásához szükséges a másodfokú egyenlet megoldóképlete, a gyakorlatban vajmi ritkán találkoztam ilyennel.

A matematika oktatásnak van egy másik célja. Ez pedig egy gondolkodásmód kialakítása. Van egy szabályrendszered. Vannak eszközeid. Van egy problémád. És valahol van valamilyen megoldás. A matematika megtanít arra a gondolkodásmódra, hogy a problémától a szabályrendszerben az eszközöket használva hogy találd meg, hogy juss el a megoldáshoz. És ez a gondolkodásmód kvázi az élet majd minden területén hasznos tud lenni. Főzni kellene egy levest, össze kellene dobni egy bolognai spagettit, meg el is kellene mosogatni, van rá 3 órád. A probléma adott, a szabályrendszer adott – a rántást x perc elkészíteni, a tészta megfőzéséhez ennyi idő kell, tehát ilyen és ilyen sorrendben érdemes haladni. Ugyanaz az analitikus és szintetizáló gondolkodásmód, csak éppen nem számokkal csinálod. De a sakk is ilyen. Gyakorlati haszna nincs, de megtanít egy olyan gondolkodásmódra, amit viszont már tudsz kamatoztatni az élet sok területén, mert vannak vázlatos analógiák a sakk és az élet történései között.

A harmadik célja a matematika oktatásnak meg nagyon is gyakorlati. Ha lusta vagy, ha nem tetszik, ha nem tudod kipréselni magadból azt a teljesítményt, amit elvárnak, akkor bukta van. Mert az életben is sokszor átláthatatlan dolgokban kell rendet vágni, megoldhatatlan feladatokat megoldani valahogy, olyan dolgok megoldására tenni hatalmas erőfeszítéseket, ami egyébként rohadtul nem érdekel, és inkább bányásznál uránt három műszakban helyette. Az egyetemi oktatás egy része szimpla szívatás, de jól méri a kitartást, szorgalmat, akaraterőt, ami viszont bizonyos szakmáknál meg szükséges is.

Kérdező a legutóbbi kommentedre reagálva jön a következő duma.

Nem fogok hazudni, egyetemen sem minden fontos vagy érdekes, de 70-80%-a a képzés anyagának az. Nekem a bsc utolsó évében nyílt fel igazán a szemem, hogy tényleg tanulni jöttem ide és addig szeretnék tanulni annyit, ahány félét csak lehet.

A kérdésre válaszolva.

Egy kicsit matematikailag megválaszolva a kérdést, ugyebár van mindenféle tér. Mind valamilyen struktúrát állít fel, vagyis ilyen-olyan tulajdonságai vannak, emiatt emilyen-amolyan műveleteket lehet a bennük lévő elemekkel elvégezni. Az egyik leginkább tudományosan használt tér az ú.n. Hilbert-tér, ami egy végtelen dimenziós speciális esete a klasszikus Euklideszi-térnek. Na most a kvantummechanika Hilbert terek vektoraival, operátoraival van felépítve (most elsunnyogva a másodkvantálást, az L2-teret, stb.). Kisarkítva: végtelen dimenziós tér nélkül, jóformán semmilyen (modern) fizikát nem lehet csinálni. Egyszerűen a műveletek, amiket szeretnénk teljes általánosságban használni megkövetelik a Hilbert-teret.

Remélem új megvilágításba helyeztem a dolgokat!

Nagyon sok dolog van, ahol csak később lehet rájönni, hogy mi volt az értelme.

Viszont minden feladat fejleszti a gondolkodásodat!