Hogyan bizonyítható be, hogy √1+√2+... +√n minden n>1 természetes számra irracionális?

Még régebben megcsináltam testbővítéssel meg egy kis számelmélettel ezt a feladatot. A KÖMAL-fórumon is adott valaki egy ilyesmi megoldást, de most így hirtelen nem találtam meg azt a hozzászólást. Itt van helyette ez, de ez sem elemi megoldás:

[link]

Tudom, hogy a Róka Sándor-féle könyvben szerepel a feladat, de trükkösen nincs hozzá megoldás (így fogalmam sincs, hogy létezik-e egyáltalán elemi bizonyítása).

Közben megtaláltam az ominózus, szintén testbővítéses megoldást a KÖMAL-fórumon (571-es hozzászólás):

[link]

#6

Persze, add hozzá pl. gyök kettőhöz az ellentettjét, és nullát kapsz, ami racionális (3-as és 4-es voltam).

#8

Az végső soron tekinthető elemi bizonyításnak, hogy belátjuk n-re vonatkozó teljes indukcióval, hogy n különböző négyzetmentes szám négyzetgyökének racionális együtthatókkal vett lineáris kombinációja csak a triviális esetben lehet nullával egyenlő. De ha jól látom, ez gyakorlatilag ugyanaz lenne, mint a linkelt megoldások, csak kikerüljük a lineáris függetlenség és a testbővítés fogalmát, tehát úgy adjuk el, mintha ez elemi megoldás lenne, de burkoltan felsőbb matematikai eszközöket használunk.

Ha van valami jóval egyszerűbb megoldásod, akkor azt oszd azért meg velünk (már ha nem akarod valahol felhasználni). Kellemes gondolkodást kívánok.