Mi értelme egy bizonyításnak, ha a bizonyítást el is lehet rontani?

Úgy lehet elrontani egy bizonyítást, hogy mondjuk használ egy olyan tételt, amire nem minden feltétel teljesül, mivel elnéz valamit az alkotója. Emiatt van az hogy egy bizonyítást sokan átnéznek hogy minden lépés korrekt-e benne. Itt nem arra kell gondolni, hogy 200 éve bebizonyított tételekről hirtelen ki fog derülni hogy hamis a bizonyítása.

Erre gondolhatsz úgy is, mintha programozásban vétesz egy hibát, és emiatt rossz eredményt ad a program. De miután több ember átnézi a programodat, megtalálják benne a hibát. És attól még hogy egy sort elírsz, az nem azt jelenti, hogy a teljes programozás felesleges lenne.

Alapvetően minden bizonyításnak van gyakorlati haszna. Ha egy tétel hibás (annak ellenére, hogy az emberek úgy "hiszik", hogy tökéletes), az a gyakorlatban mindig kiderül.

Például ott a Pitagorasz-tétel, amit azért egy párezer éve ismer az emberiség. Ennyi idő alatt már bőven ki kellett volna derülnie, hogy maga a tétel hibás.

Szóval összességében mondhatjuk, hogy van egy fokú "bizonytalanság" minden bizonyított tétel esetén, de minél tovább "tartja magát" egy tétel, annál kisebb a valószínűsége annak, hogy a tétel hibás.

Semmi se biztos, de ettől még minőségi különbség van az alábbi három állítás között:

"Anyukádat láttam az ötös úton strichelni"

"Anyukádat láttam az ötösön strichelni, le is fotóztam neked"

"Igénybe vettem anyukád szolgáltatásait az ötösön, anyajegy van a feneke bal partján"

Inkább a fordított irány a jellemző. :) A hibákat nagyon gyorsan észreveszik. De azt, hogy téves alapon, de helyesen használnak egy dolgot, na azt már elég ritkán. Mondok most két gyönyörű példát, egyik többváltozós függvénytani, a másik a közönséges differenciálegyenletekhez kapcsolódik.

1) Differenciálegyenletek esetében a Picard-Lindelöf-tétel egy nagyon erős állítás, a következőt mondja:

Legyen D nyílt halmaz R^2-ben, (t_0,x_0) legyen D egy pontja. Ekkor létezik olyan a,b pozitív szám, hogy a T(t_0,x_0)={(t,x):|t-t_0|<a, |x-x_0|<b} téglalap részhalmaza D-nek. Tegyük fel, hogy f folytonos D-n. Legyen továbbá M=max {f(t,x):x,t \in T}. Ez létezik, hisz T kompakt és f folytonos T-n (Weierstraß-tétel). Legyen továbbá c=min{a,b/M}.

Ha f és f x szerinti parciális deriváltja folytonos D-n, akkor az

x'=f(t,x), x(t_0)=x_0 kezdetiérték problémának létezik, mégpedig pontosan egy megoldása.

Ennek a bizonyítása során bizonyos függvénysorok integrálja lép fel, és felmerül a kérdés, hogy függvénysorok határfüggvényének az integrálja mikor egyezik meg a tagok integráljai összegével. Ehhez egyrészt arra van szükség, hogy a függvénysor tagjai mind folytonosak legyenek egy kompakt halmazon, és a függvénysor *egyenletesen* konvergál az f összegfüggvényhez ezen a halmazon. Korábban sokszor minden további nélkül integráltak össze-vissza, és nem született hiba, mert viszonylag szép függvényekkel volt dolguk. Viszont részben az analízis, részben a diffegyenletek elméletének fejlődése során előálltak egyre faramucibb függvénysorok, és bizony ott már minden épeszű ember elgondolkodott, hogy szabad-e össze-vissza integrálni.

A másik példa azért egyszerűbb, egész egyszerűen arról van szó, hogy egy nagyon természetes kérdés, hogy egy k-változós függvény n-edrendű parciális deriváltjaiban mikor cserélhetőek fel a változók. Hát nem pont a leggyengébb feltételt mondom, de ha az f függvény összes (n-1)-edrendű parciális deriváltja folytonos egy pontban, ott lehet cserélgetni a változókat össze-vissza az n-edrendű parciális deriváltban. Az, hogy sokáig hiba megjelenése nélkül össze-vissza cserélgették a változókat, megint arra vezethető vissza, hogy "szép" függvényeket vizsgáltak.