Milyen statisztikai teszt van arra, hogy valaminek a mean-je nulla? De nem követeljük meg, hogy normál eloszlás legyen, lehet bármi.

Igen. Ki kell számolni.

Itt összekeversz két fogalmat, a statisztika és a paraméter fogalmát.

Legyen adott egy X véletlen változó, aminek az eloszlása ismeretlen. Paraméteres problémák esetében a paraméteres eloszláscsalád paramétere R^k valamilyen részhalmazának, a paramétertérnek eleme.

Ha T:R^n->R^m mérhető függvény, akkor azt mondjuk, hogy a független, azonos eloszlású véletlen változókból álló (X_1,...,X_n) statisztikai mintára azt mondjuk, hogy T(X_1,...,X_n) egy statisztika. Szemléletesen ez azt lesarkítva azt jelenti, hogy a T függvény egyértelműen meg kell, hogy mondja, mit kapok a minta egy adott realizációjára. Az átlag például statisztika. Tehát ezt nem teszteljük, hanem kiszámoljuk a minta egy adott realizációja mellett. Aztán, hogy mire használjuk, az más kérdés, használhatjuk például becslésre. Az átlag például az X háttérváltozó várható értékének lesz egy torzítatlan, erősen konzisztens becslése, illetve véges szórású véletlen változóra négyzetes középben is konzisztens becslést kapunk. De statisztikát használunk próbák konstruálásakor is, valóban.

Az alábbi fogalmakat lenne érdemes egy bevezető statkönyvben megnézned:

-statisztika

-becslések: torzítatlanság, aszimtotikus torzítatlanság, hatásosság, konzisztencia, erős és négyzetes középben való konzisztencia

-alapstatisztikák: gyakoriság, relatív gyakoriság, mintaátlag, minimális-maximális mintaelem, empirikus variancia, korrigált empirikus variancia, empirikus kovariancia, korrigált empirikus kovariancia, ezek viselkedése torzítatlanság és konzisztencia szempontjából, eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény becslése, Glivenko-Cantelli-tétel (matematikai statisztika alaptétele néven is fut).

Ha ezeket átnézed, az rendbe rakja a fogalmakat. Ha kérdés van, írj bátran.

"Ha kérdés van, írj bátran."

Ezen jót nevettem, mivel fél oldal szövegelés után épp csak a kérdésre nem sikerült válaszolni, azaz hogy van-e nonparametrikus egymintás teszt várható értékre. Válasz: nincs.

Ettől persze még lehet "nagy a mintám, az eloszlás se tűnik túl betegnek, CLT, jóleszaz" alapon mókolni, és általában jó is lesz, de általános megoldás nincs.