Melyik az a matematikai konstans, aminek nagyon bonyolult előállítani a tizedesjegyeit?

Van egy csomó konstans, aminek a pontos értékét nem lehet kiszámolni, nincs rá valódi képlet, de bizonyítható, hogy az adott konstans valamilyen határok között kell, hogy legyen.

Most hirtelen pl. a Brun-konstans ugrott be, ami kellően érthető akár általános iskolai tudással is. Vannak ugye ikerprímek, ezek olyan prímszámok, amiknek a különbsége kettő. A száz alatti ikerprímek: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73).

Vegyük ezeknek a reciprokait és adjuk össze:

B = (1/3 + 1/5) + (1/5 + 1/7) + (1/11 + 1/13) + (1/17 + 1/19) + …

Ez egy végtelen sok tagból álló összeg lesz, ami viszont konvergens, az összeg egy véges értékhez tart. De hogy hova is konvergál pontosan, azt nem tudjuk.

Az első 10¹¹ darab ikerprím alapján:

B = 1,902160540

Az első 10¹⁴ ikerprím alapján:

B = 1,902160578

Az első 10¹⁶ ikerprím alapján:

B = 1,902160583104

Az bizonyított, hogy B<2,347. Ha a Riemann-sejtés igaz, akkor az is bizonyítható, hogy B<2,1754

Tehát tulajdonképpen még az első számjegye sem biztos ennek a konstansnak.

A π-re legalább van pl. lánctört, végtelen összeg, végtelen szorzat, aminek az újabb és újabb iterációjával közelíteni lehet a π-t. De az prímek, ikerprímek eloszlásárára csak közelítő képleteink vannak. Az *összes* ikerprímet meg nehéz lesz összegyűjteni, lévén végtelen sok van belőlük. Más olyan összefüggést, ami alapján közelíteni lehetne ehhez a konstanshoz meg nem igazán ismerünk.

~ ~ ~

De vannak még szép számmal olyan konstansok, amiknek az első-második értékes számjegy is bizonytalan. A legtöbbnél a mögötte lévő matematikai problémát nem ismerem eléggé, hogy érdemben tudnék róluk beszélni, de vannak ilyenek. Ez a Brun-konstans annyiból jó példa, hogy tényleg jól érthető, hogy maga a konstans mit is takar pontosan.

Például NP nehéz előállítani egy publikus RSA kulcs n értékéből p és q prímszám hányadosát (legyen mondjuk kisebb / nagyobb). Mivel magát p és q értékét nagyon nehéz előállítani. Annyira nehéz, hogy például az otpbank.hu is RSA-t használ. Az otp-nél n = p * q = 27 634 509 881 018 359 030 195 016 434 499 339 899 515 749 541 497 997 663 257 392 206 732 760 474 119 316 000 397 536 888 157 036 855 578 854 602 315 851 910 833 309 885 588 334 679 254 184 659 473 028 230 622 482 842 529 581 525 356 933 508 012 058 705 590 632 766 196 384 458 391 837 209 361 945 609 661 298 119 936 406 682 523 246 855 840 523 996 900 332 232 189 323 967 731 513 264 068 172 764 114 336 393 240 555 418 661 395 651 572 492 299 658 013 541 429 522 612 425 706 054 679 493 685 190 086 848 206 035 562 871 962 351 350 441 657 841 276 409 600 623 496 140 249 391 835 936 048 347 136 940 825 429 722 765 200 918 096 171 905 854 830 717 357 360 850 953 833 512 834 896 333 673 495 023 286 526 787 099 130 097 269 282 431 695 300 878 597 981 731 076 024 543 566 245 852 021 570 195 118 379 757 589 047 216 741

Van időd 2023. 09. 17. 1:59:59 CEST eddig felbontani, ez után új kulcsot kap.

Ez kiszámítható lenne, de túl sok futási idővel, ami gyakorlatban bugába dől.

Az algoritmikus információelmélet számítástechnika részterületén a Chaitin-konstans vagy leállási valószínűség olyan valós szám, amely informálisan azt a valószínűséget jelenti, hogy egy véletlenszerűen megszerkesztett program leáll. Végtelen sok Chaitin-konstans van, nincs algoritmus mellyel kiszámíthatóak lennének, azaz kiszámíthatatlanok. A tizedesjegyei Martin-Löf véletlenszerűek, így a Chaitin-konstansok normális számok.

A normális számok nagyrésze kiszámíthatatlan. Ez abból következik, hogy a normális számok számossága kontinuum végtelen, az algoritmusok számossága megszámlálhatóan végtelen.

A Chaitin-konstansok kiszámíthatatlansága a megállási problémából következik.

A Kolmogorov komplexitás az adott adat legrövidebb vesztességmentesen tömörített mérete, azaz minél magasabb entrópiájú annál jobban tömöríthetetlen azaz összenyomhatatlan, így Kolmogorov értelmében tömöríthetetlen számot hívunk olyan valósnak, amelynek p-adikus fejlődése (a nagyobb kényelem érdekében bináris) összehasonlítható az algoritmus méretével, amely lehetővé teszi annak kiszámítását. A tizedesjegyeik véletlenszerűeknek kell lennie, hiszen nincs algoritmus rá ami valamilyen szabály szerint leírná röviden a generálási szabályt azaz tömörítené. A Kolmogorov-komplexitás nem eldönthető : adhatunk egy algoritmust, amely előállítja a kívánt objektumot, ami bizonyítja, hogy ennek az objektumnak a komplexitása legfeljebb akkora, mint az algoritmus. De nem írhat olyan programot, amely komplexitást ad a Kolmogorov számára bármely olyan objektumról, amelyet bemenetként meg akar adni neki.

Ebben az értelemben minden racionális és néhány irracionális (normális) szám összenyomható, különösen olyan transzcendens számok, mint a π , e vagy a 0,12345678910111213 ... amelyek bináris tágulása végtelen, de a tizedesjegyek sorozata tökéletesen kiszámítható, így vannnak olyan normális számok melyek algoritmikusan összenyomhatóak.

"Nekem lényegében az jutott eszembe, hogy bármelyik transzcendens számra jellemzö a leírás, mi szerint “nehéz” a pontos értéküket meghatározni."

Mit értesz jellemző leírás alatt? A transzcendes számok és a normális számok halmazának van metszete. Ezen metszetben vannak számok melyekre nincs algortimus sem mely előállítaná. Pusztán abból következik, hogy a metszetben kontinnum végtelen sok szám van, az algoritmusokból meg megszámlálhatóan végtelen van, így nem is juthat mindre algoritmus.

Az algoritmussal előállítható számok alatt tágabb értelemben a számítás során végtelen iterációs lépést igénylő számokat is beleértem, így nem magát az algoritmus futásának végén lévő számot értem alatta, hanem magát a számot mint objektumot melyet reprezentál az adott algoritmus mely iterációs lépésenként konvergál a számhoz végtelen iteráció esetében.

Az algoritmussal előállítható számok halmaza megszámlálhatóan végtelen, de nem felsorolható, mert ennek bonyolultsága egyenértékű a megállási problémával.