Hogyan oldható meg a következő két matematikai állítás?

Általánosságban szólva, ha x egy egész szám és t egy transzcendens szám, akkor x^t nem feltétlenül lesz egész szám. A transzcendens számok olyan valós számok, amelyek nem lehetnek algebrai egyenletek gyökei, azaz nem elégíthetnek ki semmilyen egész számú polinom egyenletet olyan egész számú együtthatókkal, amelynek gyökei kívánatosak lennének.

Az egész számok hatványozása általában nem eredményezi az egész számokat, ha a kitevő nem egy egész szám vagy negatív egész szám. A transzcendens számok pedig olyan kitevők lehetnek, amelyek nem szolgálnak olyan egész számú kitevőként, amelyek esetén az eredmény is egész szám lenne.

Ezért nincs általános szabály arra vonatkozóan, hogy x^t egész szám lesz-e vagy sem, ha x egész és t transzcendens szám. A végeredmény az adott konkrét értékeken múlik, de általánosságban nem számíthatunk arra, hogy mindig egész számot kapunk.

Az n^(p/q) egész szám lesz, az azt jelenti, hogy n^p egy q-edik gyökkel kifejezve egész számot kapunk. Az (n+1)^(p/q) kifejezés esetében is ugyanez az elv érvényesül, csak most n+1^p lesz a kitevőnk a q-edik gyök alatt.

Azonban fontos megjegyezni, hogy az n^p és (n+1)^p kifejezések között csak egy egységnyi különbség van, mivel az n+1 = n + 1, ami egy egységnyi változást jelent az n értékéhez képest. Tehát ha n^p egész szám, akkor (n+1)^p is az lesz, mivel mindkettő ugyanazon a módon változik, csak egységnyi eltérés van közöttük.

Ezért, ha n^p egész szám, akkor (n+1)^p is egész szám lesz, függetlenül attól, hogy milyen racionális kitevőt (p/q) használunk.

1-2#, miért kell hülyére venni a kérdezőt?

A helyes válaszok:

1) Lehet; ha x=0, akkor 0^t=0. De lehet másik megoldást is mondani, ehhez a logaritmust kell ismerni. Például a log(2)[9] egy transzcendens szám, viszont 2^log(2)[9]=9.

2) Ugyanúgy ki tudunk indulni a 0-ból; 0^(p/q)=0, 1^(p/q)=1, tetszőleges pozitív tört esetén.

Ha a p/q tört pozitív egész, akkor n bármilyen nemnegatív egész lehet. Ha pedig 0, akkor n nem lehet 0, bármi más igen.

Ha a p/q tört nem egész racionális, akkor az n=0 megoldáson kívül nincs más megoldás. Ugyanis az n^(p/q) értékét így tudjuk meghatározni: qgyök(n)^p. A 0-1 párost leszámítva ha az qgyök(n) egész, akkor a qgyök(n+1) biztosan nem lesz az. Ezt sok módon be lehet mutatni. A legegyszerűbb úgy, hogy azt tudjuk, hogy két egymást követő szám, amikből tudunk qgyököt vonni, az a k^q és a (k+1)^q, ezeknek kell n-nel és (n+1)-gyel egyenleknek lenniük, tehát:

n=k^q és n+1=(k+1)^q, ahol n;k nemnegatív egészek és q>=2 egész. Behelyettesítünk n helyére a második egyenletben:

k^q + 1 = (k+1)^q

Ha k=0, akkor 1=1-et kapunk, ami igaz. Tehát ha k=0, akkor n=0, így kapjuk vissza a 0;1 párost. Ha k>0, akkor a jobb oldalon lévő zárójelet ki tudjuk bontani a BINOMIÁLIS TÉTEL segítségével (és nem csak tagonként hatványozunk)

k^q + 1 = k^q + q*k^(q-1) + (q alatt a 1)*k^(q-2) + ... + 1, végül ki tudunk vonni:

0 = (q alatt az 1)*k^(q-2) + ...

A jobb oldalon pozitív számokat adunk össze, vagyis az egyenletünk 0=pozitív, ami értelemszerűen nem igaz.

Tehát ha n>0, q>1 és p/q a legegyszerűbb alakú tört, akkor az n^(p/q) és (n+1)^(p/q) nem lehet egyidőben egész.

Általánosságban elmondható, hogy ha x egy egész szám, és t egy transzcendens szám, akkor x^t nem lesz egész szám. A transzcendens számok olyan valós számok, amelyek nem elégítenek ki semmilyen nemtriviális polinom egyenletet (olyan egyenletet, amely nem csak a nulla egyszerű gyöke), melynek egész számú együtthatói vannak.

Az egész kitevőkkel (például x^2, x^3 stb.) könnyen egész számokat kaphatunk, de ha a kitevő transzcendens, akkor az eredmény általában nem lesz egész szám. A transzcendens kitevő olyan komplexitást és irracionális viselkedést hordoz, hogy a végeredmény nem tartalmaz olyan struktúrát, ami az egészekre jellemző lenne.

Ez persze csak egy általános szabály, és lehet kivételek, de a legtöbb esetben az x^t nem lesz egész szám, ha t transzcendens.