Mennyi lehet egy olyan halmaz számossága, amire az igaz, hogy exponenciálisan növelve a vizsgált intervallumot, exponenciálisan kisebb új elemeket találunk benne?

Várható számosság ilyen fogalmat nem ismerek.

Ilyen halmaz számossága 0-tól végtelenig bármennyi lehet. Eleve ha csak egy intervallumban például 0<x<10 vannak számok is végtelen sok lehet.(Ha csak véges sok az is lehet bármennyi ami véges.) Végtelen esetében az hogy milyen végtelen se mindegy matematikailag. Racionális számok esetében megszámlálhatóan végtelen, valós számok esetében kontinuum végtelen, a számok alternatív osztálya esetében magasabb rendű végtelen is lehet, még lehet annnyira végtelen is hogy a halmazelméleti számosság sem értelemezett rá, lásd szürreális számok.

"hogy 0<x<10-re 1/2 eséllyel találunk legalább egy olyan x-et, amire P(x) igaz, továbbá 10<x<100-ra ez már csak 1/4, és így tovább: 10^n < x < 10^(n+1)-re 1/2^n."

A végén megadott szabálynak nem felel meg az első megadott intervallumod, hiszen az ott n+1=1, tehát n=0, tehát az intervallum 1<x<10 lenne.

"teljesen igazad van. Vegyük ki az x=0-t."

Lehet ez zavart meg.

Nem tudok semmit az egyes intervallumokban hogy mennyi elem lehet, csak annyit hogy minimum 0 maximum amennyi természetes szám van az adott 10^n ... 10^(n+1) intervallumban. Így azt vizsgálom, hogy az egyes intervallumokban van e elem, ennek valószínűségét.

Így ezen intervallumokat megsorszámzom, így pl

1. intervallum az 10^1 ... 10^(1+1)

...

az n. intervallum az 10^n ... 10^(n+1)

Így leegyszerűsítve, ha csak arra vagyunk kíváncsiak valószínűség szempontjából hogy az adott intervallum üres-e, visszavezethetjük a feladatot arra mintha az lenne a kérdés hogy az n.-ik természetes számnak az esélye hogy benne van 1/2^n .

Olyan kérdésekre vezetjük vissza, hogy mennyi az esélye hogy üres a teljes halmaz, mennyi az esélye hogy 1 elemű, mennyi az esélye hogy 2 elemű ..., mennyi az esélye hogy n elemű ....

Véges esetben mutatom, ha csak 4 elemű halmazról van szó:

0 ----------

() -> [1/2, 3/4, 7/8, 15/16] -> 0.3076171875

0.3076171875

1 ----------

(0,) -> [1/2, 3/4, 7/8, 15/16] -> 0.3076171875

0.615234375

(1,) -> [1/2, 1/4, 7/8, 15/16] -> 0.1025390625

0.7177734375

(2,) -> [1/2, 3/4, 1/8, 15/16] -> 0.0439453125

0.76171875

(3,) -> [1/2, 3/4, 7/8, 1/16] -> 0.0205078125

0.7822265625

2 ----------

(0, 1) -> [1/2, 1/4, 7/8, 15/16] -> 0.1025390625

0.884765625

(0, 2) -> [1/2, 3/4, 1/8, 15/16] -> 0.0439453125

0.9287109375

(0, 3) -> [1/2, 3/4, 7/8, 1/16] -> 0.0205078125

0.94921875

(1, 2) -> [1/2, 1/4, 1/8, 15/16] -> 0.0146484375

0.9638671875

(1, 3) -> [1/2, 1/4, 7/8, 1/16] -> 0.0068359375

0.970703125

(2, 3) -> [1/2, 3/4, 1/8, 1/16] -> 0.0029296875

0.9736328125

3 ----------

(0, 1, 2) -> [1/2, 1/4, 1/8, 15/16] -> 0.0146484375

0.98828125

(0, 1, 3) -> [1/2, 1/4, 7/8, 1/16] -> 0.0068359375

0.9951171875

(0, 2, 3) -> [1/2, 3/4, 1/8, 1/16] -> 0.0029296875

0.998046875

(1, 2, 3) -> [1/2, 1/4, 1/8, 1/16] -> 0.0009765625

0.9990234375

4 ----------

(0, 1, 2, 3) -> [1/2, 1/4, 1/8, 1/16] -> 0.0009765625

1.

szám majd mínusz jelek (pl 2 ----------) jelentik azt hogy hogy hány elemű, ezek alatt az összes kombinációban, először az indexek melyeken számok szerepelnek a halmazban, majd nyíl, valószínűségek felsorolása listába majd megint nyíl ezen valószínűségek szorzata, következő sorban pedig a szorzat hozzáadása az összeghez, melyben validálom végül hogy az összes szorzat összegének 1-nek kell lennie, hiszen ez lefedi a teljes eseményteret és tényleg lefedi. Nagyobb halmazokra is néztem, de nem terhelem ezzel az oldalt hogy leírok 7 kilóméter hosszú számítást.

Nyilvánvaló hogy az n-ik elem ha szerepel ennek valószínűsége 1/2^n és annak hogy nem szerepel 1-(1/2^n). Ahogy egyre nagyobb halmazokra nézzük, egyre jobban konvergálnak irracionális számokhoz ezen szorzatok, így határértékként szerepel azaz eset ahol a teljes természetes számok halmaza szerepel, minél nagyobb halmazra számoljuk végig annál jobban közelítjük azt mintha a teljes természetes számok halmazát vennénk (de a maga a számítás exponenciális idejű).

Még a 20:58-as tegnapi válaszomhoz hozzáteszem, hogy azon 4 elemű halmaz esetében az elemszám várható értéke kiszámítható, a valószínűségek összegzése szerinti kivonásokból amit felírtam tegnap (plusz a megfelelő szorzatok összegzéséből).

Méghozzá :

0 -> 0.3076171875

1 -> 0.7822265625 - 0.3076171875 = 0.474609375

2 -> 0.9736328125 - 0.7822265625 = 0.19140625

3 -> 0.9990234375 - 0.9736328125 = 0.025390625

4 -> 1 - 0.9990234375 = 0.0009765625

Várható érték : 0*0.3076171875 + 1*0.474609375 + 2*0.19140625 + 3*0.025390625 + 4*0.0009765625 = 0.9375

A tegnap említett konvergenciák és határértékek miatt várható értékben véges értéket sejtek, ha a teljes természetes számokra kiterjesztem és 1 valószínűséggel véges elemű lenne a halmaz sejtésem szerint.