A mátrixok determinánsának mi értelme van?

Invariáns bázistranszformációra, tehát biztos hogy lehet dolgokra használni.

Egy haszna például többváltozós analízsnél a koordinátatranzfromációnál a Hesse mátrix determinánsa a térfogatváltozás. Vagy kvantummechanikában is sokszor találkoztam vele. Például Slater determináns, vagy kvantumtérelméletben lévő integráloknál is sokszor előjött.

A mátrix determinánsa egy fontos szám, amely a mátrix tulajdonságait és viselkedését írja le. Determinánsának több értelme és számos alkalmazása van a lineáris algebra és más matematikai területeken. Itt néhány fontos értelme és alkalmazása:

Invertálhatóság: Egy négyzetes mátrix invertálható, vagyis van inverze, akkor és csak akkor, ha determinánsa nem egyenlő nullával. Az invertálhatóság számos alkalmazásban jelenik meg, például lineáris egyenletek megoldásában és lineáris transzformációk inverzének meghatározásában.

Lineáris transzformációk: A determináns meghatározza egy lineáris transzformáció torzítását vagy összenyomását. Például ha egy determináns értéke pozitív, akkor a transzformáció területmegőrző (area-preserving), míg negatív determinánsú mátrixok torzítják a területet. Ez hasznos lehet a geometriai transzformációk elemzésében.

Mátrixszorzás: A determináns hasznos az úgynevezett "mátrixszorzás" tulajdonságok vizsgálatában. Például két mátrix szorzatának determinánsa egyenlő a két mátrix determinánsának szorzatával.

Lineáris egyenletrendszer: A determináns segítségével megállapítható, hogy egy lineáris egyenletrendszer egyedülálló megoldást vagy megoldás nélküli rendszert tartalmaz-e.

A determináns számítására több definíció is létezik, de egyik gyakran használt definíciója a következő:

Adott egy n x n méretű négyzetes mátrix, ahol minden elem a_ij. A determináns számítására szolgáló definíció:

det(A) = Σ (-1)^(i+j) * a_ij * det(M_ij),

ahol det(A) a mátrix determinánsa, i és j az elemek sora és oszlopa, és M_ij egy (n-1) x (n-1) méretű részmátrix, amit úgy kapunk, hogy elhagyjuk az i. sort és a j. oszlopot.

Ez a definíció valójában egy rekurzív definíció, és hasznos a determináns kiszámításában. Sok oktatási forrásban és szakirodalomban találhatsz bizonyításokat a determináns tulajdonságairól és számításáról, például a Cramer-szabályról, amely a determináns alkalmazását mutatja be lineáris egyenletrendszer megoldására.

Az interneten is találhatsz különböző forrásokat és videókat a determináns definíciójáról, tulajdonságairól és számításáról. Ha mélyebben érdekel a téma, érdemes elolvasni egy lineáris algebra tankönyvet, ahol átfogóbb tudást kaphatsz a determinánsokról és más mátrixszámításokról.

fizikában elég sokszor előkerülnek

rendszerek stabilitása például, a Hurwitz-kritérium esetén determinánst kell számolni

Mi értelme van? Szögezzük le, az átlag hétköznapi ember számára semmi direkt. Közvetett annyiban, hogy vannak olyanok, akik a matematikával foglalkoznak, számukra ez egy eszköz, mint orvosnak a sztetoszkóp, vagy kubikosnak az ásó. És ennek a segítségével olyan matematikai eljárásokat képesek végrehajtani, ami aztán a gyakorlati életben hatalmasan hasznosul, ugyanis a matematika meg a gyakorlat egy modellezési eszköze.

Bármilyen meghökkentő, a determináns nélkül (azaz ha ezen eszköz nem létezne) ma nem lenne atomreaktor, se szigetelés a házakon, se kondenzációs kazán a fürdőszobában. Lehetne kályhán melegíteni a vizet, és a lavórban mosakodni. Meg gyertyával világítani. De ezt a kérdést itt feltenni biztosan nem lehetne.

Alapvetően az a kérdés, hogy a vektorrendszer milyen bázisektorokból épül fel. A legtöbb esetben egymásra merőleges (ortogonált) vektorokban gondolkozunk. Minden eseten tudjuk, hogy a vektorok lineáris kombinációja a(z al)térből nem mutatni ki, tehát össze lehet őket adni vagy ki lehet vonni. Általában igaz, hogy az n dimenziójú teret n darab lineárisan független vektorral le lehet írni. Ahhoz, hogy megtudjuk, hogy ezek lineárisan függnek-e vagy sem, alapvetően azt kell megnéznük, hogy hány egységvektorra lehet visszavezetni a rendszert.

Ha elkezdjük a vektorrendszert Gauss-eliminációval visszabontogatni, akkor ezeket a vektorokat kapjuk:

[ 1 ; 0 ; 0 ; ... ; 0 ]

[ 0 ; 1 ; 0 ; ... ; 0 ]

[ 0 ; 0 ; 1 ; ... ; 0 ]

.

.

.

[ 0 ; 0 ; 0 ; ... ; K ],

Az utolsó sorban lévő K valami konstans. Ha 0, akkor a vektorrendszer nem független, mivel az utolsó sorban úgy nullvektor szerepel (tehát kihúzható), ha pedig 0-tól különböző, akkor azt a vektort osztva K-val abból is egységvektort kapunk. Ez a K szám lesz egyébként a vektorrendszer determinánsa.

#8: "Alapvetően az a kérdés, hogy a vektorrendszer milyen bázisektorokból épül fel."

WTF. Alapvetően a vektorrendszerek nem épülnek fel bázisvektorokból. Például legyen B egy bázis, V egy vektorrendszer, akkor V nem épül fel bázisvektorokból, kivéve ha a V-t alkotó v vektorok mind B-beliek, de ez nagyon érdektelen, és semmi köze a determinánshoz.