Geometria! A K forgáskúpfelület tengelye a K csúcsán át nem menő S1 és S2 sikokat egyenlő szögben döfi. Mutassuk meg, hogy a K metszet S1 és K metszet S2 kúpszeletek hasonlók! Valaki meg tudja oldani?

Tükrözzük az egyik (S1) síkot a kúpfelület K csúcsán átmenő, annak tengelyére merőleges K1 síkra!

Erre a síkra maga a kúpfelület eredetileg tükörszimmetrikus volt, tehát a kapott S1' sík az eredeti S1 síkkal egybevágó szeletet fog kimetszeni a kúpfelületből (figyelem, a kúpfelület a csúcstól _mindkét_ irányban van...!)

Legyen S1 és S1' síkok K tükörsíkkal (és egymással - ez a tükrözésből következik) való metszésvonala s1, S2 sík K-val való metszésvonala pedig s2.

Forgassuk el S2-t a kúppalást tengelye körül úgy, hogy a kapot S2' sík K-val való s2' metszésvonala párhuzamos legyen s1-gyel.

Az elforgatott S2' sík kúpfelülettel kimetszett kúpszelete szintén egybevág az eredeti S2 sík által kimetszett kúpszelettel az elforgatás tulajdonságai miatt.

Ekkor már "látszik", hogy S2' vagy S1-gyel, vagy S1'-vel párhuzamos; bizonyítani pedig pl. úgy lehet, hogy K-ból merőlegest állítasz s2-re (és egyben s2-re), a kapott metszéspontokat pedig összekötöd a síkok döféspontjaival; így két háromszöget fogsz kapni, K-ban egybeeső derékszögű csúccsal és egymáson fekvő befogókkal (derékszög: K1 sík merőleges volt a kúpfelület tengelyére, tehát a metszésponton átmenő K1-ben fekvő egyenes is merőleges rá); a derékszögű háromszögek szára pedig a tengellyel éppen azt a bizonyos (feladatszöveg szerint egyenlő) döfésszöget zárja be, tehát a két háromszög hasonló, tehát a két szár párhuzamos, tehát a két sík (S1' és S2') párhuzamos (mert volt már két párhuzamos egyenesük K1-ben, és most mutattunk még kettőt), tehát a kimetszett kúpszelet párhuzamos, tehát hasonló.

Hú, tök hosszan sikerült leírni, és rajz hiányában még így is puruttya, rajzold le szerintem, becsületesen megbetűzve mindent csak pár sor lesz az egész.

jájj bocsi

nem feltétlenül S1'-vel párhuzamos S2, hanem vagy S1'-vel vagy S1-gyel, erre ment ki a tükrözés, hogy ne "két eset" legyen...

Bár úgy is leírhatod, hogy két eset van, vagy forgatással párhuzamosba vihető a két sík, és akkor hasonlóak a metszetek, vagy tükrözéssel és fogatással és akkor szintén...