Hogyan kell megoldani ezt az egyenlőtlenséget? (x^2-2*√a*x+1) * (2^x+lga) <0

Kikötés a>0

Szorzat akkor negatív, ha az egyik tényezője negatív.

Legyen az első negatív, a második pozitív először.

x^2-2*sqrt(a)*x+1 < 0 és 2^x + lga > 0

[x-sqrt(a)]^2+1-a < 0

[x-sqrt(a)]^2 < a-1

Ez csak akkor lehetséges, ha a > 1, hiszen a bal oldalon egy négyzetszám van, ami >=0

ha a>1, akkor lga pozitív, tehát 2^x+lga is pozitív.

Ekkor

[x-sqrt(a)]^2 < a-1

x-sqrt(a) < sqrt(a-1)

x < sqrt(a-1) + sqrt(a)

Tehát ha a < 1, akkor x < sqrt(a-1) + sqrt(a)

ha a = 1:

(x-1)^2*2^2 lesz a szorzat(lg1 = 0), ami csak >=0 lehet, mivel 2^x > 0 és (x-1)^2 >=0

Tehát a = 1-re nincs megoldás

Már csak 0<a<1 -et kell nézni, azt az előző logikából láthatjuk, hogy az első tényező biztosan pozitív, hiszen ugyanazokat az alakításokat végrehajtva:

[x-sqrt(a)]^2 > a-1

mindig teljesül, hiszen a bal oldal egy négyzetszám, a jobb oldal pedig negatív.

Így a másik tényezőnek kell negatívnak lennie, azaz

2^x+lga < 0

2^x < -lga

x < lg2(-lga) (itt lg2 a kettes alapú logaritmus. Kikötés nem kell, hiszen a nulla és egy között van, itt pedig lga negatív lesz, tehát lg2-ben pozitív szám fog szerepelni). Összefoglalva a megoldásokat:

a > 0 kikötés

a < 1: x < sqrt(a-1) + sqrt(a)

a = 1: nincs megoldás

0 < a < 1: x < lg2(-lga)

Remélem tudtam segíteni :)