Hogyan határozom meg azt a mátrixot ami a V (4,2) vektort az x=4 egyenletű egyenesre tükrözi?

A vektor hossza √20.

A (4,2) pont önmagába tükröződik, a (0,0) pedig a (4, 2-√20)-ba.

A tükörtengelynek tehát az egyik pontja a (4,2), egy másik pedig a (0,0) és (4, 2-√20) pontok átlaga, vagyis (2, 1-√5)

Transzformálni az origó körül tudunk, ezért először el kell tolni mindent az origóba, tükrözni, majd visszatolni. Mondjuk legyen az eltolás vektora (-4, -2) (a vektor csúcsát tolja az origóba), ennek mátrixa: (nevezzük T(-4,-2)-nek)

[1 0 -4]

[0 1 -2]

[0 0 1]

A visszatolás mátrixa T(4,2) lesz hasonlóképpen.

(Az ugye tiszta, hogy az (x,y) pontot ilyenkor az [x y 1] oszlopvektor adja meg. Szóval kell egy 1-es értékű harmadik dimenzió is, mert az eltolás mátrix 3x3-as.)

Az origóba tolt tükörtengely egyik pontja a (0,0), másik pedig a (-2,-1-√5).

Az általános tükrözési mátrix, amikor a tükörtengely átmegy az origón és ϑ az x tengelyhez viszonyított szöge:

[ cos(2ϑ) sin(2ϑ) 0 ]

[ sin(2ϑ) -cos(2ϑ) 0 ]

[ 0        0       1 ]

Az aktuális tükörtengelynek a tükrözési mátrixa:

cos(2ϑ)-t egyszerűbb most cos²ϑ-sin²ϑ alakban számolni, sin(2ϑ)-t szintén 2·sinϑ·cosϑ-ból. A tengely egyenesének az irányvektora (2,1+√5), hossza tehát √(10+√20). cosϑ = 2/√(10+√20), sinϑ = (1+√5)/√(10+√20)

A mátrixot ebből fel tudod írni. Nevezzük R-nek.

A teljes transzformáció: T(4,2)·R·T(-4,-2)

Ezt is szorozd be.